Kako to izračunati? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Primjer

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Nažalost, funkcija unutar integrala neće se integrirati u nešto što se ne može izraziti elementarnim funkcijama. Za to ćete morati koristiti numeričke metode.

Mogu vam pokazati kako koristiti proširenje niza da biste dobili približna vrijednost.

Počnite s geometrijskom serijom:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + 3 + r ^ r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # za # Rlt1 #

Sada se integrirajte s poštovanjem # R # i korištenje ograničenja #0# i #x# da biste dobili ovo:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integriranje lijeve strane:

# Int_0 ^ x1 / (1-f) dr = - ln (1-f) _ 0 ^ x = -ln (1-x) *

Sada integrirajte desnu stranu integrirajući pojam po pojam:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ iu 4/4 + … #

Iz toga slijedi:

#-ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Sada dijelite #x#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2 x ^ 2/3-x ^ od 3/4 -… #

Dakle, sada imamo izraz za power series za funkciju s kojom smo izvorno započeli. Konačno, možemo se ponovo integrirati kako bismo dobili:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1 x / 2 x ^ 2/3-x ^ od 3/4 -… dx #

Integriranje pojma "desna ruka po strani" daje nam:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9 x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Procjena ograničenja na četiri termina će nam dati približnu vrijednost:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ovo je samo četiri pojma. Ako želite točniji broj, jednostavno upotrijebite više termina u nizu. Na primjer, idemo na 100. pojam:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) /x

Osim toga, ako radite kroz isti proces, ali koristite oznaku za zbrajanje (tj. S velikim sigmom umjesto da pišete uvjete serije), otkrit ćete da:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

koja je samo Riemann-Zeta funkcija 2, tj.

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2--zeta (2) #

Mi zapravo već znamo koliko je to: #zeta (2) = pi ^ 2/6, #.

Stoga se može zaključiti da je točna vrijednost integrala sljedeća:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -piperidm- ^ 2/6, #