Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x ^ 4 - 8x ^ 2 - 12 u [-3, -1]?

Odgovor:

#-3# (pojavljuje se na # x = -3 #) i #-28# (pojavljuje se na # x = -2 #)

Obrazloženje:

Apsolutni ekstremi zatvorenog intervala događaju se na krajnjim točkama intervala ili at #F "(x) = 0 #.

To znači da ćemo morati postaviti derivat jednak #0# i vidjeti što #x#-Vrijednosti koje nas dobivaju, a mi ćemo morati koristiti # x = -3 # i # x = 1 # (jer su to krajnje točke).

Dakle, počevši od preuzimanja izvedenice:

#F (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 #

#F '(x) = 4x ^ 3-16x #

Postavljanje jednako #0# i rješavanje:

# 0 = 4x ^ 3-16x #

# 0 = x ^ 3-4x #

# 0 = x (x ^ 2-4) #

# X = 0 # i # X ^ 2-4 = 0 #

Tako su rješenja #0,2,# i #-2#.

Odmah se otarasimo #0# i #2# jer nisu na intervalu #-3,-1#, ostavljajući samo # x = -3, -2, # i #-1# kao moguća mjesta gdje se mogu pojaviti ekstremi.

Konačno, ocjenjujemo ih jedan po jedan da bismo vidjeli što su apsolutni min i max:

#F (-3) = - 3 #

#F (-2) = - 28 #

#F (1) = - 19 #

Stoga #-3# je apsolutni maksimum i #-28# je apsolutni minimum na intervalu #-3,-1#.

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 u [0,3]?

Na [0,3] maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 (pri x = 1). Da bismo pronašli apsolutne ekstreme jedne (kontinuirane) funkcije na zatvorenom intervalu, znamo da se ekstremi moraju pojaviti na oba crticna broja u intervalu ili na krajnjim točkama intervala. f (x) = x ^ 3-3x + 1 ima derivaciju f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 nikada nije definirano i 3x ^ 2-3 = 0 pri x = + - 1. Budući da -1 nije u intervalu [0,3], odbacujemo ga. Jedini kritični broj koji treba uzeti u obzir je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 i f (3) = 19. Dakle, maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 ( x = 1).

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) u [1,4]?

Nema globalnih maksimuma. Globalni minimumi su -3 i javljaju se pri x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, gdje je x f 1 f '(x) = 2x - 6 Apsolutni ekstremi nastaju na krajnjoj točki ili na kritični broj. Krajnje točke: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritična točka (e): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Kod x = 3 f (3) = -3 Nema globalnih maksimuma. Ne postoji globalni minimum -3 i javlja se pri x = 3.

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) u [oo, oo]?

X = 0 je maksimum funkcije. f (x) = 1 / (1 + x²) Pretražimo f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Vidimo da postoji jedinstveno rješenje, f ' (0) = 0 I također da je ovo rješenje maksimum funkcije, jer lim_ (x do ± oo) f (x) = 0, i f (0) = 1 0 / ovdje je naš odgovor!