Pretpostavimo da postoji osnova za i određeni broj dimenzija za podprostor W u RR ^ 4. Zašto je broj dimenzija 2?

Odgovor:

4 dimenzije minus 2 ograničenja = 2 dimenzije

Obrazloženje:

Treća i četvrta koordinata su jedini nezavisni. Prva dva se mogu izraziti u smislu posljednje dvije.

Odgovor:

Dimenzija podprostora određena je njezinim bazama, a ne dimenzijom bilo kojeg vektorskog prostora koja je podprostor od.

Obrazloženje:

Dimenzija vektorskog prostora definirana je brojem vektora u osnovi tog prostora (za beskonačne dimenzijske prostore definirana je kardinalnošću baze). Napominjemo da je ova definicija konzistentna jer možemo dokazati da će svaka osnova vektorskog prostora imati isti broj vektora kao i svaka druga osnova.

U slučaju # RR ^ n # mi to znamo #dim (RR ^ n) = n # kao

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

je osnova za # RR ^ n # i ima # # N elementi.

U slučaju #W = s, t u RR # možemo napisati bilo koji element u # W # kao #svec (u) + vecec (v) # gdje #vec (u) = (4,1,0,1) # i #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Iz ovoga imamo to # {vec (u), vec (v)} # je skup raspona za # W #, Jer #vec (u) # i #vec (v) * očito nisu međusobno skalarni (bilježe pozicije #0#s), to znači # {vec (u), vec (v)} # je linearno neovisni raspon raspona za # W #to je osnova. Jer # W # ima osnovu s #2# elementima, mi to kažemo #dim (W) = 2 #.

Napominjemo da dimenzija vektorskog prostora ne ovisi o tome postoje li njegovi vektori u drugim vektorskim prostorima veće dimenzije. Jedini odnos je ako # W # je podprostor od # V # zatim #dim (W) <= dim (V) # i #dim (W) = dim (V) <=> W = V #