Koja je formula za pronalaženje područja regularnog dodekagona?

Odgovor:

#S _ ("regularni dodekagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "strana" ^ 2 ~ = 11.196152 * "strana" ^ 2 #

Obrazloženje:

Razmišljajući o pravilnom dodekagonu upisanom u krug, možemo vidjeti da je formiran od 12 jednakokračnih trokuta čiji su dijelovi polumjer kruga, radijus kruga i strana dodekagona; u svakom od tih trokuta jednak je kut nasuprot dodekagonskoj strani #360^@/12=30^@#; područje svakog od tih trokuta je # ("Strana" * "visina) / 2 #, samo trebamo odrediti visinu okomitu na stranu dodekagona kako bismo riješili problem.

U spomenutom jednakokračnom trokutu, čija je baza strana dodekagona i čije su jednake strane polumjeri kruga, čiji je kut suprotan bazi (#alfa#) jednako je #30^@#, iz vrha je nacrtana samo linija u kojoj se radijus kruga susreće (točka C) koji presijeca okomito na dodekagonsku stranu: ova linija presijeca kut #alfa# kao i određuje visinu trokuta između točke C i točke u kojoj je baza presrećena (točka M), kao i dijeli bazu na dva jednaka dijela (sve zato što su dva manja trokuta koja su tako formirana kongruenti).

Budući da su spomenuta dva manja trokuta ispravna, na ovaj način možemo odrediti visinu jednakokračnog trokuta:

#tan (alpha / 2) = "suprotstavljeni cathetus" / "susjedni kathetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("strana" / 2) / "visina" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Onda imamo

#S_ (dodekagon) = 12 * S_ (trokut) = 12 * (("strana") ("visina")) / 2 = 6 * ("strana") ("strana") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodekagon) = 3 * ("strana") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #