Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x - e ^ x u [1, ln]?

Odgovor:

Postoji apsolutni maksimum #-1.718# na # X = 1 # i apsolutni minimum #-5.921# na # x = ln8 #.

Obrazloženje:

Odrediti apsolutni ekstremi na intervalu moramo pronaći kritične vrijednosti funkcije koje leže unutar intervala. Zatim moramo testirati i krajnje točke intervala i kritične vrijednosti. To su mjesta gdje se mogu pojaviti kritične vrijednosti.

Pronalaženje kritičnih vrijednosti:

Kritične vrijednosti #F (x) * pojaviti kad god #F "(x) = 0 #, Dakle, moramo pronaći derivat od #F (x) *.

Ako:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Zatim: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Tako će se kritične vrijednosti pojaviti kada: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Što znači da:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Tako:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 = 0 #

Jedina kritična vrijednost funkcije je na # X = 0 #, koji je ne na zadanom intervalu # 1, ln8 #, Dakle, jedine vrijednosti na kojima se mogu pojaviti apsolutni ekstremi su na # X = 1 # i # x = ln8 #.

Testiranje mogućih vrijednosti:

Jednostavno, pronađi #F (1) # i #F (ln8) #, Manji je apsolutni minimum funkcije, a veći je apsolutni maksimum.

#F (1) = 1-e ^ 1-1-eapprox 1,718 #

#F (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5,921 #

Dakle, postoji apsolutni maksimum #-1.718# na # X = 1 # i apsolutni minimum #-5.921# na # x = ln8 #.

Graphed je izvorna funkcija u zadanom intervalu:

graf {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Budući da nema kritičnih vrijednosti, funkcija će se smanjivati tijekom cijelog intervala. Od # X = 1 # je početak konstantno padajućeg intervala, on će imati najveću vrijednost. Ista logika vrijedi i za # x = ln8 #, budući da je najdalje od intervala i bit će najniži.

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 u [0,3]?

Na [0,3] maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 (pri x = 1). Da bismo pronašli apsolutne ekstreme jedne (kontinuirane) funkcije na zatvorenom intervalu, znamo da se ekstremi moraju pojaviti na oba crticna broja u intervalu ili na krajnjim točkama intervala. f (x) = x ^ 3-3x + 1 ima derivaciju f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 nikada nije definirano i 3x ^ 2-3 = 0 pri x = + - 1. Budući da -1 nije u intervalu [0,3], odbacujemo ga. Jedini kritični broj koji treba uzeti u obzir je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 i f (3) = 19. Dakle, maksimum je 19 (pri x = 3), a minimum je -1 ( x = 1).

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) u [1,4]?

Nema globalnih maksimuma. Globalni minimumi su -3 i javljaju se pri x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, gdje je x f 1 f '(x) = 2x - 6 Apsolutni ekstremi nastaju na krajnjoj točki ili na kritični broj. Krajnje točke: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritična točka (e): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Kod x = 3 f (3) = -3 Nema globalnih maksimuma. Ne postoji globalni minimum -3 i javlja se pri x = 3.

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) u [oo, oo]?

X = 0 je maksimum funkcije. f (x) = 1 / (1 + x²) Pretražimo f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Vidimo da postoji jedinstveno rješenje, f ' (0) = 0 I također da je ovo rješenje maksimum funkcije, jer lim_ (x do ± oo) f (x) = 0, i f (0) = 1 0 / ovdje je naš odgovor!