Koji je raspon y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Najprije razmotrimo domenu:

Za koje vrijednosti #x# je li funkcija definirana?

Brojnik # (1-x) ^ (1/2) # je samo definirano kada # (1-x)> = 0 #, Dodavanje #x# na obje strane ovog ćete naći #x <= 1 #.

Također zahtijevamo da nazivnik bude ne-nula.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # je nula kada #x = -1 / 2 # i kada #x = -1 #.

Dakle, domena funkcije je

# {x u RR: x <= 1 i x! = -1 i x! = -1/2} #

Definirati #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # na ovoj domeni.

Razmotrimo svaki kontinuirani interval u domeni zasebno:

U svakom slučaju, neka #epsilon> 0 # biti mali pozitivan broj.

Slučaj (a): #x <-1 #

Za velike negativne vrijednosti #x#, #F (x) * je mali i pozitivan.

Na drugom kraju tog intervala, ako #x = -1 - epsilon # zatim

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # kao #epsilon -> 0 #

Za #x <-1 # rasponu od #F (x) * je # (0, + oo) #

Slučaj (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # kao #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Za # -1 / 2 <x <= 1 # rasponu od #F (x) * je # 0, + oo) #

Slučaj (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -o # kao #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -o # kao #epsilon -> 0 #

Stoga je zanimljivo pitanje što je maksimalna vrijednost #F (x) * u ovom intervalu. Da biste pronašli vrijednost #x# za koje se to događa, potražite derivativ da bude nula.

# D / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) *

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2 x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2 x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

To će biti nula kada je brojač nula, pa bismo željeli riješiti:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Pomnožite pomoću # 2 (1-x) ^ (1/2) # dobiti:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

To je:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

koji ima korijene # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Od tih korijena, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # pada u određenom intervalu.

Zamijenite ovo natrag u #F (x) * da biste pronašli maksimum od #f (x) u ovom intervalu (približno -10).

Ovo mi se čini složenim. Jesam li napravio neke pogreške?

Odgovor: Raspon funkcije je # (- oo, -10,58) uu 0, oo #

Za #x u (-oo, -1) # #-># #y u (0, oo) #

Za #x u (-1, -0,5) # #-># #y in (-oo, -10,58) #

Za #x u (-0.5, 1) # #-># #y u 0, oo #

Neka je domena f (x) [-2,3], a raspon je [0,6]. Što je domena i raspon f (-x)?

Domena je interval [-3, 2]. Raspon je interval [0, 6]. Upravo tako, to nije funkcija, jer je njezina domena samo broj -2.3, dok je njezin raspon interval. No, pod pretpostavkom da je to samo tipografska pogreška, a stvarna domena je interval [-2, 3], to je kako slijedi: Neka je g (x) = f (-x). Budući da f zahtijeva da svoju neovisnu varijablu uzima samo u intervalu [-2, 3], -x (negativno x) mora biti unutar [-3, 2], što je domena od g. Budući da g dobiva svoju vrijednost kroz funkciju f, njezin raspon ostaje isti, bez obzira što koristimo kao nezavisnu varijablu.

Ako funkcija f (x) ima domenu od -2 <= x <= 8 i raspon od -4 <= y <= 6 i funkcija g (x) definirana je formulom g (x) = 5f ( 2x)) onda što su domena i raspon g?

Ispod. Koristite osnovne transformacije funkcija kako biste pronašli novu domenu i raspon. 5f (x) znači da je funkcija vertikalno rastegnuta za faktor pet. Stoga će novi raspon obuhvatiti interval koji je pet puta veći od izvornog. U slučaju f (2x), na funkciju se primjenjuje vodoravno rastezanje od faktora pola. Stoga su ekstremiteti domene prepolovljeni. Et voilà!

Ako je f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1), i x! = - 1, što bi f (g (x)) jednako? g (f (x))? f ^ 1 (x)? Što bi domena, raspon i nula za f (x) bili? Kakva bi bila domena, raspon i nula za g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x u RR}, R_f = {f (x) u RR; f (x)> = 0} D_g = {x u RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) u RR; g (x)! = 1}