Koja je domena i raspon f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Odgovor:

Domena je # RR # (svi stvarni brojevi) i raspon je # 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

(svi stvarni brojevi između i uključujući # (5-sqrt (61)) / 72 # i # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Obrazloženje:

U domeni počinjemo sa svim realnim brojevima, a zatim uklonimo sve što bi nas prisililo da imamo kvadratni korijen negativnog broja, ili #0# u nazivniku dijela.

Na prvi pogled znamo to kao # x ^ 2> = 0 # za sve stvarne brojeve, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #, Tako nazivnik neće biti #0# za bilo koji stvarni broj #x#, što znači da domena uključuje svaki stvarni broj.

Za raspon, najlakši način za pronalaženje gore navedenih vrijednosti uključuje neki osnovni račun. Iako je dulji, moguće je pronaći ih i pomoću samo algebre, međutim, metodom opisanom u nastavku.

Počinje s funkcijom #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # želimo pronaći sve moguće vrijednosti #F (x) *, To je ekvivalentno pronalaženju domene inverzne funkcije # F ^ 1 (x) * (funkcija s imovinom # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Nažalost, obrnuto #F (x) * u ovom slučaju nije funkcija, jer vraća 2 vrijednosti, međutim, ideja je i dalje ista. Započet ćemo s jednadžbom #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # i riješiti za #x# pronaći inverzni. Zatim ćemo pogledati moguće vrijednosti # Y # pronaći domenu inverznog, i stoga raspon izvorne funkcije.

Rješavanje za #x#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

liječenje # Y # kao konstanta primjenjujemo kvadratnu formulu

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

dobiti

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Sada moramo pronaći domenu gore navedenog izraza (imajte na umu da to nije funkcija zbog #+-#). Imajte na umu da dijeljenjem s # Y # u kvadratnoj formuli smo izgubili mogućnost # Y = 0 #, što je očito moguće u izvornoj jednadžbi (za. t #x = -5 #). Tako ćemo zanemariti # Y # u nazivniku inverznog, i fokusirati se samo na kvadratni korijen.

Kao što smo već spomenuli, ne dopuštamo kvadratni korijen vrijednosti manju od 0, tako da imamo ograničenje

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Korištenjem kvadratne formule # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # nalazimo, nakon nekog pojednostavljenja, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Konačno, možemo to reći kao # | Y | # raste, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # bit će manje od #0#, Stoga razmatramo samo interval između

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # i #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Tako dopuštene vrijednosti za # Y #, a time i raspon za #F (x) *, je

# 5-sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

Neka je domena f (x) [-2,3], a raspon je [0,6]. Što je domena i raspon f (-x)?

Domena je interval [-3, 2]. Raspon je interval [0, 6]. Upravo tako, to nije funkcija, jer je njezina domena samo broj -2.3, dok je njezin raspon interval. No, pod pretpostavkom da je to samo tipografska pogreška, a stvarna domena je interval [-2, 3], to je kako slijedi: Neka je g (x) = f (-x). Budući da f zahtijeva da svoju neovisnu varijablu uzima samo u intervalu [-2, 3], -x (negativno x) mora biti unutar [-3, 2], što je domena od g. Budući da g dobiva svoju vrijednost kroz funkciju f, njezin raspon ostaje isti, bez obzira što koristimo kao nezavisnu varijablu.

Ako funkcija f (x) ima domenu od -2 <= x <= 8 i raspon od -4 <= y <= 6 i funkcija g (x) definirana je formulom g (x) = 5f ( 2x)) onda što su domena i raspon g?

Ispod. Koristite osnovne transformacije funkcija kako biste pronašli novu domenu i raspon. 5f (x) znači da je funkcija vertikalno rastegnuta za faktor pet. Stoga će novi raspon obuhvatiti interval koji je pet puta veći od izvornog. U slučaju f (2x), na funkciju se primjenjuje vodoravno rastezanje od faktora pola. Stoga su ekstremiteti domene prepolovljeni. Et voilà!

Ako je f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1), i x! = - 1, što bi f (g (x)) jednako? g (f (x))? f ^ 1 (x)? Što bi domena, raspon i nula za f (x) bili? Kakva bi bila domena, raspon i nula za g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x u RR}, R_f = {f (x) u RR; f (x)> = 0} D_g = {x u RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) u RR; g (x)! = 1}