Odgovor:
Postoje zapravo četiri vrijednosti za # X / 2 # na jediničnom krugu, tako da četiri vrijednosti za svaku trigonometrijsku funkciju. Glavna vrijednost polukuta je oko # 2.2 ^ circ. #
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Molimo pogledajte objašnjenje za ostale.
Obrazloženje:
Razgovarajmo najprije o odgovoru. Postoje dva kuta na jediničnom krugu čiji je kotangens #13#, Jedan je u blizini # 4.4 ^ circ #, a drugi je plus # 180 ^ circ #, nazovi je # 184,4 ^ circ #, Svaki od njih ima dva polukuta, opet odvojena # 180 ^ circ. # Prvi ima pola kuta # 2.2 ^ circ # i # 182,2 ^ circ #, drugi ima pola kuta # 92,2 ^ circ # i # 272,2 ^ circ #, Dakle, u pitanju su četiri polukuta, s različitim, ali srodnim vrijednostima za njihove trigonometrijske funkcije.
Koristit ćemo gornje kutove kao aproksimacije, tako da imamo imena za njih.
Kutovi s kotangensom od 13:
#text {Arc} tekst {cot} 13 približno 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {cot} 13 približno 184,4 ^ circ #
Polu-kutovi:
# 1/2 tekst {Arc} tekst {cot} 13 približno 2,2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + tekst {Arc} tekst {cot} 13) oko 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {cot} 13) oko 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {cot} 13) oko 272.2 ^ circ #
OK, formule za dvostruki kut za kosinus su:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
tako da su odgovarajuće poluugle formule
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
To je sve preliminarno. Učinimo problem.
Najprije ćemo napraviti mali kut # 2.2 ^ circ. # Vidimo da su ostali samo višestruki # 90 ^ circ # iznad toga, tako da možemo dobiti njihove trigonometrijske funkcije iz ovog prvog kuta.
Kotangens od 13 je nagib od #1/13# tako odgovara pravokutnom trokutu s suprotnim #1#, u susjedstvu #13# i hipotenuza #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}.
#cos (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
Sada primjenjujemo formule poluugla. Za naš maleni kut u prvom kvadrantu biramo pozitivne znakove.
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13}) / sqrt {170})} #
Mogli bismo pokušati pojednostaviti i premjestiti frakcije izvan radikala, ali samo ću ih ostaviti ovdje.
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13}) / sqrt {170})} #
Polu-ugao tangenta je kvocijent tih, ali je lakši za korištenje
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
OK, to je sve teži dio, ali nemojmo zaboraviti druge kutove.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Sada imamo preostale kutove, koji mijenjaju sinusni i kosinusni znak, okretanje znakova. Nećemo ponavljati obrasce osim tangente.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Uf.
Odgovor:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#color (grimizno) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #
Obrazloženje:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1 - 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #
# csc ^ 2x = 1 + krevetić ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + krevetić ^ 2 (x / 2) #
Ali znaju #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Kada #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = +0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #
Kada #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
