Kako riješiti arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

Odgovor:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

Obrazloženje:

#arcsin (x) + arcsin (2 x) = pi / 3 #

Počnite tako što ćete dopustiti # alpha = arcsin (x) "" # i # "" beta = arcsin (2x) #

#COLOR (crna) alfa # i #COLOR (crna) beta # zapravo samo predstavljaju kutove.

Tako da imamo: # A + p = pi / 3 #

# => Sin (a) = x #

#cos (a) = sqrt (1-sin ^ 2 (a)) = (1-SQRT x ^ 2) #

Slično tome, #sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (P)) = (sqrt 1- (2 x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#COLOR (bijeli) #

Zatim razmislite

# A + p = pi / 3 #

# => Cos (alfa) + beta-cos (pi / 3) *

# => Cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) = 1/2 #

# => Sqrt (1-x) ^ 2 * kvadratni korijen (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2x ^ 2-4 * ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2 x ^ 2-4 * ^ 4) ^ 2-2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4 * ^ 4 ^ 4-4x + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Sada primijenite kvadratnu formulu u varijabli # X ^ 2 #

# => X ^ 2 (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 x 73)) / 64 = (+ -7 -sqrt (73)) / 16 #

# => X = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#COLOR (bijeli) #

Neuspjeli slučajevi:

#color (crveno) ((1) ".." ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

treba odbaciti jer je rješenje kompleks # inZZ #

#color (crveno) ((2) ".." ## X = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

se odbacuje jer je rješenje negativno. Dok # Pi / 3 # je pozitivan.