Pronaći područje zasjenjenog područja?

Odgovor:

Pogledajte dolje.

Obrazloženje:

Kada prvi put naučimo pronaći područja integracijom, uzmemo reprezentativne pravokutnike okomito.

Pravokutnici imaju bazu # DX # (mala promjena u #x#) i visine jednake većoj # Y # (onaj na gornjoj krivulji) minus manji # Y # vrijednost (ona na donjoj krivulji). Zatim se integriramo od najmanjeg #x# vrijednost do najvećeg #x# vrijednost.

Za ovaj novi problem mogli bismo upotrijebiti dvije takve intergrale (vidi odgovor Jim S), ali vrlo je vrijedno naučiti kako pretvoriti naše mišljenje #90^@#.

Uzet ćemo reprezentativne pravokutnike horiontally.

Pravokutnici imaju visinu # Dy # (mala promjena u # Y #) i baze jednake većem #x# (onaj na krajnjoj desnoj krivulji) minus manji #x# vrijednost (ona na krajnjoj lijevoj krivulji). Zatim se integriramo od najmanjeg # Y # vrijednost do najvećeg # Y # vrijednost.

Primijetite dualnost

# {:("okomito", "iff", "horizontalno"), (dx, iff, dy), ("gornje", iff, "krajnje desno"), ("niže", iff, "krajnje lijevo"), (x, iff, y):} #

Izraz "od najmanjeg" #x# vrijednost do najvećeg #x# označava da se integriramo s lijeva na desno (u smjeru povećanja #x# vrijednosti.)

Izraz "od najmanjeg" # Y # vrijednost do najvećeg # Y # "označava da integriramo od dna prema vrhu. (U smjeru povećanja # Y # vrijednosti.)

Ovdje je prikazana regija s malim pravokutnikom:

Područje je

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Odgovor:

Područje osjenčanog područja je # 1m ^ 2 #

Obrazloženje:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (možemo vidjeti iz grafikona)

# Sqrtx / x-x # #<=># # X ^ 2-sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (možemo vidjeti i iz grafikona)

Jedan od mnogih načina na koji se područje osjenčanog područja može izraziti može biti područje trokuta # AhatOB = Ω # izuzimajući cyan područje koje ću nazvati #COLOR (cijano) (Ω_3) #

pustiti #Ω_1# biti crno područje prikazano na grafikonu i #COLOR (zeleno) (Ω_2) # zeleno područje prikazano na grafikonu.

Područje malog trokuta # ChatAD = # #COLOR (zeleno) (Ω_2) # bit će:

• #COLOR (zeleno) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1/2 m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Područje #Ω_1# bit će:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) 1 ^ = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2), #

# = 3 / 2-1 = 1/2 m ^ 2 #

Kao rezultat, zasjenjeno područje će biti

• #Ω_1## + Boja (zelena) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #