Kako ste pronašli antiderivative od dx / (cos (x) - 1)?

Odgovor:

Učinite nešto konjugirano množenje, primijenite neke okidače i završite kako biste dobili rezultat # Int1 / (cosx-1) dx = cscx + Cotx + C #

Obrazloženje:

Kao i kod većine problema ovog tipa, riješit ćemo ga pomoću konjugiranog trika množenja. Kad god imate nešto podijeljeno nečim plus / minus nešto (kao u # 1 / (cosx-1) #), uvijek je korisno isprobati konjugirano množenje, osobito s trigonometrijskim funkcijama.

Počećemo množenjem # 1 / (cosx-1) # konjugacijom # Cosx-1 #, koji je # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) + (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Možda se pitate zašto to radimo. To je tako da možemo primijeniti razliku svojstava kvadrata, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, u nazivniku, da ga malo pojednostavimo. Natrag na problem:

# 1 / (cosx-1) + (cosx + 1) / (cosx + 1) = (1 + cosx) / ((cosx-1), (cosx + 1)) *

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) *

#COLOR (bijeli) (III) acolor (bijeli) (XXX) bcolor (bijeli) (XXX) acolor (bijeli) (XXX) b #

Primijetite kako je to u biti # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Sada, što je s tim # cos ^ 2x-1 #? Pa, znamo # Grijeh ^ 2x = 1-cos ^ 2 x #, Pomnožimo to s #-1# i vidi što dobivamo:

# 1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2 x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Ispostavilo se da # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, pa zamijenimo # cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

To je jednako # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, koji se, koristeći neke okidače, svodi na # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

U ovom trenutku, pojednostavili smo se do integralnog # Int1 / (cosx-1) # dx do # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #, Koristeći pravilo zbroja, to postaje:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Prvi od njih je # Cscx # (jer je derivat od # Cscx # je # -Cotxcscx #) a drugi je # Cotx # (jer je derivat od # Cotx # je # -Csc ^ 2x #). Dodajte konstantu integracije # C # i imate svoje rješenje:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx + Cotx + C #

Kako ste pronašli antiderivative od (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C "napisati" e ^ x "dx kao" d (e ^ x) ", tada dobivamo" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "sa supstitucijom y =" e ^ x ", dobivamo" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) "koja je jednaka" arctan (y) + C "Sada zamijeni nazad" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Kako ste pronašli antiderivative od f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Ovako: Anti-derivativna ili primitivna funkcija se postiže integriranjem funkcije. Pravilo palca ovdje je ako se traži da se pronađe antiderivative / integral funkcije koja je polinom: Uzmite funkciju i povećajte sve indekse od x za 1, a zatim podijelite svaki pojam s novim indeksom x. Ili matematički: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Također dodajete konstantu u funkciju, iako će konstanta biti arbitrarna u ovom problemu. Sada, koristeći naše pravilo možemo pronaći primitivnu funkciju, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) + ((- 9x ^ (1 + 1 )) / (1 + 1)) + ((3x ^ (0 + 1)) / (0 + 1))

Kako ste pronašli antiderivative od cos ^ 4 (x) dx?

Želite ga podijeliti koristeći trigonometrije da biste dobili lijepe, jednostavne integrale. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Cos ^ 2 (x) možemo vrlo lako obraditi preraspodjelom kosinusne formule s dvostrukim kutom. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Dakle, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x) ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C