Kako ste pronašli antiderivative od (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Odgovor:

#arctan (e ^ x) + C #

Obrazloženje:

# "piše" e ^ x "dx kao" d (e ^ x) ", a zatim dobivamo" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "sa zamjenom y =" e ^ x ", dobivamo" # #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "koji je jednak" #

#arctan (y) + C #

# "Sada zamijenite" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Odgovor:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Obrazloženje:

Želimo pronaći # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = Int1 / (1+ (x ^ e) ^ 2) e ^ x "d" x #

Sada pusti # V = e ^ x # i tako uzimanje diferencijala na obje strane daje # Du = e ^ xdx #, Sada ćemo nadomjestiti obje ove jednadžbe u integralni

# Int1 / (1 + u ^ 2), "d" u #

Ovo je standardni integral koji se vrednuje # Arctanu #, Zamjena za #x# dobivamo konačan odgovor:

#arctan e ^ x + "c" #

Odgovor:

# ix x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Obrazloženje:

Prvo, dopuštamo # U = 1 + e ^ (2x) #, Integrirati s poštovanjem # U #, dijelimo s derivatom od # U #, koji je # ^ 2e (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u)

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)

Integrirati s poštovanjem # U #, trebamo sve što je izraženo u smislu # U #, tako da moramo riješiti za što # E ^ x # je u smislu # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2 x) = u-1 #

# 2 x = u (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = u (sqrt (u-1)) *

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Sada to možemo uključiti u integralni:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Zatim ćemo uvesti zamjenu s # Z = sqrt (u-1) #, Derivat je:

# (DM) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

tako da ga dijelimo da bismo se integrirali s obzirom na # Z # (imajte na umu da je dijeljenje jednako množenju s recipročnim):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u

Sada, opet imamo pogrešnu varijablu, tako da moramo riješiti za što # U # jednaka je u smislu # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1-Z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

To daje:

dz = int 1 / (1 + z ^ 2)

To je uobičajeni derivat # Tan ^ 1 (z) #, tako smo dobili:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Poništavanjem svih zamjena dobivamo:

# Tan ^ 1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2 x) -1)) + C = tan ^ 1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ 1 (e ^ x) + C #

Kako ste pronašli antiderivative od f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Ovako: Anti-derivativna ili primitivna funkcija se postiže integriranjem funkcije. Pravilo palca ovdje je ako se traži da se pronađe antiderivative / integral funkcije koja je polinom: Uzmite funkciju i povećajte sve indekse od x za 1, a zatim podijelite svaki pojam s novim indeksom x. Ili matematički: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Također dodajete konstantu u funkciju, iako će konstanta biti arbitrarna u ovom problemu. Sada, koristeći naše pravilo možemo pronaći primitivnu funkciju, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) + ((- 9x ^ (1 + 1 )) / (1 + 1)) + ((3x ^ (0 + 1)) / (0 + 1))

Kako ste pronašli antiderivative od dx / (cos (x) - 1)?

Učinite neke konjugirane množenje, primjenjuju neke trigonometriju, i završiti da biste dobili rezultat int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C Kao i kod većine problema ovog tipa, mi ćemo ga riješiti pomoću konjugirane trik množenje. Kad god imate nešto podijeljeno nečim plus / minus nešto (kao u 1 / (cosx-1)), uvijek je korisno isprobati konjugirano množenje, posebno s trigonometrijskim funkcijama. Počećemo množenjem 1 / (cosx-1) s konjugatom cosx-1, koji je cosx + 1: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1). napravi to. To je tako da možemo primijeniti razliku kvadrata svojstva, (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2, u nazivniku, da g

Kako ste pronašli antiderivative od e ^ (sinx) * cosx?

Upotrijebite u-supstituciju kako biste pronašli inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Primijetite da je derivat sinxa cosx, a budući da se pojavljuju u istom integralu, taj se problem rješava u-supstitucijom. Neka je u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx postaje: inte ^ udu Ovaj integral procjenjuje se na e ^ u + C (jer je derivat e ^ u e ^ u). Ali u = sinx, dakle: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C