Dva paralelna akorda kruga s duljinama od 8 i 10 služe kao baze trapeza upisanih u krug. Ako je duljina radijusa kruga 12, koja je najveća moguća površina takvog opisanog upisanog trapeza?

Odgovor:

# 72 * sqrt (2) + * 9 sqrt (119) ~ = 200,002 #

Obrazloženje:

Razmotrite sl. 1 i 2

Shematski bismo mogli umetnuti paralelogram ABCD u krug, a pod uvjetom da su strane AB i CD akordi krugova, na način ili na slici 1 ili na slici 2.

Uvjet da strane AB i CD moraju biti akorde kruga znači da upisani trapezoid mora biti jednakokračan jer

dijagonale trapeza (# AC # i #CD#) su jednaki jer
# A šešir B D = B A C = B hatD C = Kabel C D #

i crta okomita na # AB # i #CD# prolazeći kroz središte E prekriva te akorde (to znači # AF-BF # i # CG = DG # i trokuti formirani presjekom dijagonala s temeljima u # AB # i #CD# su jednakokrake).

Ali budući da je područje trapeza

# S = (+ b_1 b_2) / 2 * h #, gdje # B_1 # označava bazu-1, # B_2 # za bazu-2 i # # H za visinu i # B_1 # je paralelno s # B_2 #

A od tog faktora # (B_1 + b_2) / 2 # jednaka je u hipotezama slika 1 i 2, bitno je u kojoj hipotezi trapez ima veću visinu (# # H). U ovom slučaju, s akordima manjim od radijusa kruga, nema sumnje da u hipotezi na slici 2 trapez ima veću visinu i stoga ima više područje.

Prema slici 2, s # AB = 8 #, # CD = 10 # i # R = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / otkazati (3)) / (1 / otkazati (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # X = 8 / poništavanje (2) * poništavanje (2) sqrt (2) * => # X = 8sqrt (2) #

#triangle_ (EKG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / otkazati (12)) / (5 / otkazati (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # Y = 10/2 x sqrt (119) / 5 # => # Y = sqrt (119) #

Zatim

# H = x + y #

# H = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (+ b_1 b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200,002 #

Dva kruga koji imaju jednak radijus r_1 i dodiruju lon na istoj strani l su na udaljenosti od x jedni od drugih. Treći krug radijusa r_2 dodiruje dva kruga. Kako ćemo pronaći visinu trećeg kruga od l?

Pogledaj ispod. Pretpostavimo da je x udaljenost između perimetara i pretpostavimo da 2 (r_1 + r_2) gt x + 2r_1 imamo h = sqrt ((r_1 + r_2) ^ 2- (r_1 + x / 2) ^ 2) + r_1-r_2 h je udaljenost između l i oboda C_2

Dva kruga imaju sljedeće jednadžbe (x +5) ^ 2 + (y +6) ^ 2 = 9 i (x +2) ^ 2 + (y -1) ^ 2 = 81. Ima li jedan krug drugi krug? Ako ne, koja je najveća moguća udaljenost između točke na jednom krugu i druge točke na drugoj?

Krugovi se sijeku, ali niti jedno od njih ne sadrži drugo. Najveća moguća boja na udaljenosti (plava) (d_f = 19.615773105864 jedinice "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" (x + 5) ^ 2 + (y + 6) ^ 2 = 9 "" prvi krug (x + 2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 81 "" drugi krug Počinjemo s jednadžbom koja prolazi kroz središta kruga C_1 (x_1, y_1) = (- 5, -6) i C_2 (x_2, y_2) = (- 2 , 1) su centri.Koristeći oblik od dvije točke y-y_1 = ((y_2-y_1) / (x_2-x_1)) * (x-x_1) y - 6 = ((1--6) / (- 2--5)) * (x - 5) y + 6 = ((1 + 6) / (- 2 + 5

Uzmite u obzir 3 jednaka kruga radijusa r unutar dane kružnice radijusa R, koji svaki dodiruje ostala dva i dani krug kao što je prikazano na slici, onda je područje zasjenjenog područja jednako?

Možemo formirati izraz za područje osjenčane regije kao što je: A_ "zasjenjen" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centar" gdje je A_ "središte" područje malog dijela između tri manjih krugova. Da bismo pronašli područje ovoga, možemo nacrtati trokut spajanjem središta triju manjih bijelih krugova. Budući da svaki krug ima radijus r, duljina svake strane trokuta je 2r, a trokut je jednakostraničan tako da ima svaki kut od 60 ^. Možemo stoga reći da je kut središnjeg područja područje tog trokuta minus tri sektora kruga. Visina trokuta je jednostavno sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^, tako da je po