Koja je maksimalna površina pravokutnika koji ima perimetar od 116 m?

Odgovor:

Područje, #A = 841 "m" ^ 2 #

Obrazloženje:

Neka je L = duljina

Neka je W = širina

Perimetar, #P = 2L + 2W #

S obzirom na: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Riješite za W u smislu L:

#W = 58 "m" - L "1" #

Područje, #A = LW "2" #

Zamijenite desnu stranu jednadžbe 1 za W u jednadžbu 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

Da bi se dobila vrijednost L koja maksimizira područje, izračunati njezin prvi derivat s obzirom na L, postaviti ga jednak 0, a riješiti za L:

Prvi derivat:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Postavite je jednako 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Koristite jednadžbu 1 da biste pronašli vrijednost W:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

To pokazuje da je pravokutnik koji proizvodi maksimalnu površinu kvadrat. Područje je:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Odgovor:

# 841m ^ 2 #.

Obrazloženje:

Riješit ćemo ovaj problem koristeći Algebarske metode. Kao

Drugo rješenje, riješit ćemo ga pomoću Račun

pustiti #l i w # biti duljina i širina pravokutnika, odnosno

Zatim, područje pravokutnika# = LW. #

Onda, po onome što je dano, # 2 (l + w) = 116, ili, (l + w) / 2 = 29 #.

Ovdje koristimo sljedeće AGH Nejednakost stvarnih br.:

Ako A, G i H su Aritmetička, geometrijska i harmonijska sredstva

od # a, b u RR ^ + uu {0} "odnosno" A> = G> = H. #

# "Ovdje," A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b).

Stoga, # (l + w) / 2> = sqrt (lw) ili, ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Ovo znači to, # "Područje =" lb <= (29) ^ 2 #

Dakle, maksimum područje pravokutnika# = 841m ^ 2 #.