Riješite sljedeću jednadžbu u prirodnim brojevima: x² + y² = 1997 (x-y)?

Odgovor:

# (x, y) = (170, 145) # ili # (x, y) = (1817, 145) #

Obrazloženje:

Sljedeći dokaz temelji se na tome u knjizi "Uvod u diofantske jednadžbe: pristup utemeljen na problemima" Titu Andreescua, Dorin Andrica, Iona Cucurezeanua.

S obzirom na:

# 2 x + y ^ ^ 2-1997. (x-y) #

pustiti #a = (x + y) # i #b = (1997-x + y) #

Zatim:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + y + 2xy ^ 2 + 1997 ^ 2 + x + y ^ 2 ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + y + 2xy ^ 2 + 1997 ^ 2 + x + y ^ 2 ^ 2-2 (x + y ^ 2 ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Stoga nalazimo:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Od #1997# je premijera, # S # i # B # nemaju zajednički faktor veći od #1#.

Stoga postoje pozitivni integers #m, n # s #m> n # i ne postoji zajednički faktor veći od #1# tako da:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} boja (bijela) (XX) "ili" boja (bijela) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Gledati u # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # u mod #3# i mod #5# aritmetika, nalazimo:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) stoga #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) stoga #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #5#)

To znači da su jedine mogućnosti #m, n # modulo #15# su #1, 4, 11, 14#.

Dodatno imajte na umu da:

# m ^ 2 u (1997/2, 1997) #

Stoga:

#m u (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Dakle, jedine mogućnosti za # M # su #34, 41, 44#

Pronašli smo:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# nije savršen trg.

#1997 - 44^2 = 61# nije savršen trg.

Tako # (m, n) = (34, 29) #

Tako:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

ili

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#COLOR (bijeli) () #

Ako # (a, b) = (1972, 315) # zatim:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

i zbog toga:

# (x, y) = (1817, 145) #

#COLOR (bijeli) () #

Ako # (a, b) = (315, 1972) # zatim:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

i zbog toga:

# (x, y) = (170, 145) #