Procijenite neodređeni integral: qsqrt (10x x ^ 2) dx?

Odgovor:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + C #

Obrazloženje:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Dovršite trg, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Zamjena # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Zamjena # U = 5sin (v) * i # du = 5cos (v) *

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Pojednostaviti, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

poboljšati, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Izvadite konstantu, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Primijenite formule s dvostrukim kutom, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Izvadite konstantu, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrirati, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ C #

Zamijenite natrag # V = arcsin (u / 5) * i # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + poništavanje (1 / 2sin) (otkazivanje (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ C #

Pojednostaviti, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

poboljšati, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, gdje # C # je konstanta integracije.

Tadaa: D

Odgovor:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Obrazloženje:

Što je #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Napominjemo da je domena funkcije koja se integrira tamo gdje je unutarnji kvadratni pozitivan, tj. #x u 0, 10 #

Ovaj izraz se može integrirati korištenjem supstitucija. Iako se mogući put integracije ne pojavljuje odmah, ako se natjecamo s kvadratom, tada se može provesti trigonometrijska zamjena:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Što je, primjećujemo, u klasičnom trigonometrijskom obliku zamjene, tj. Kvadrat broja minus kvadrat linearnog #x# funkcija.

Prvo, da se riješimo linearnih, dopuštamo #u = x-5 #, koji daje # Du = dx #, tako da možemo preraditi gornji integral kao:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Sada za drugu zamjenu, neka #u = 5sintheta #, koji mijenja integral u:

#int sqrt (25 - 25 po ^ 2tea) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (možemo zanemariti zagrade apsolutne vrijednosti)

Naravno # DX # ne pomaže, pa razlikujemo jednadžbu supstitucije da bismo dobili: #du = 5costheta d theta #, tako da integralni postaje:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Sada možemo koristiti formulu dvostrukog kuta za integraciju # cos ^ 2 theta # lakše:

#cos (2 theta) = 2kor

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Dakle, integral postaje:

# 25/2 int cos (2ta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetokosteta + theta) + c # (pomoću formule dvostrukog kuta)

Sada, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Stoga, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

I, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #