Lopta se spušta ravno s visine od 12 stopa. Nakon što je udario u tlo, odbija se za 1/3 udaljenosti koju je pao. Koliko daleko će lopta putovati (i gore i dolje) prije nego što se odmori?

Odgovor:

Lopta će putovati 24 stope.

Obrazloženje:

Ovaj problem zahtijeva razmatranje beskonačnih serija. Razmotrite stvarno ponašanje lopte:

Prvo lopta padne 12 stopa.

Zatim se lopta odbije #12/3 = 4# noge.

Lopta zatim pada 4 noge.

Na svakom uzastopnom odbijanju lopta putuje

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # noge, gdje # # N je broj odbijanja

Dakle, ako zamislimo da lopta počinje #n = 0 #, onda se naš odgovor može dobiti iz geometrijske serije:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Zabilježite #-12# korektivni termin, to je zato jer ako počnemo # N = 0 # računamo 0 odskočnu duljinu od 12 stopa i 12 stopa dolje. U stvarnosti lopta putuje samo pola toga, jer počinje u zraku.

Možemo pojednostaviti naš iznos na:

# 24sum_ (n = 0) ^ 1/3 ^ n - 12 #

Ovo je samo jednostavna geometrijska serija koja slijedi pravilo da:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Dugo kao # | R | <1 #

To donosi jednostavno rješenje za naš problem:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# noge.