Koji su lokalni ekstremi od f (x) = xlnx-xe ^ x?

Odgovor:

Ova funkcija nema lokalnih ekstrema.

Obrazloženje:

#f (x) = xlnx-xe ^ x podrazumijeva #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Za #x# biti lokalni ekstrem, #G (x) * mora biti nula. Sada ćemo pokazati da se to ne događa ni za kakvu stvarnu vrijednost #x#.

Zapamtite to

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Tako #G ^ '(x) # će nestati ako

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

To je transcendentalna jednadžba koja se može riješiti numerički. Od #g ^ '(0) = + oo # i #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, korijen leži između 0 i 1. A od tada #g ^ {''} (0) <0 # za sve pozitivno #x#, ovo je jedini korijen i odgovara maksimumu za #G (x) *

Jednako je lako riješiti jednadžbu brojčano i to pokazuje #G (x) * ima maksimum na # X = 0,3152 # i maksimalna vrijednost je #g (0.3152) = -1.957 #, Od maksimalne vrijednosti #G (x) * je negativna, nema vrijednosti #x# na kojem #G (x) * nestaje.

Možda je uputno gledati na to grafički:

graf {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Kao što možete vidjeti na grafikonu iznad, funkcija #F (x) * zapravo ima maksimum na # X = 0 # - ali to nije lokalni maksimum. Donji grafikon to pokazuje #g (x) equiv f ^ '(x) # nikad ne uzima vrijednost nula.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}