Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Odgovor:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) približno 0,541 #

Obrazloženje:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Primjena pravila proizvoda

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2 lnx #

Za lokalne ili maksimalne vrijednosti: #f '(x) = 0 #

pustiti # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 ili z = -2 #

Stoga za lokalni ili minimalni lokalni broj:

#lnx = 0 ili lnx = -2 #

#:. x = 1 ili x = e ^ -2 oko 0,135 #

Sada ispitajte grafikon #x (LNX) ^ 2 # ispod.

graf {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Možemo primijetiti da je to pojednostavljeno #F (x) * ima lokalni minimum na # X = 1 # i lokalni maksimum u #x u (0, 0,25) #

Stoga: #f_min = f (1) = 0 # i #f_max = f (e ^ (- 2)) približno 0,541 #

Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ima lokalni minimum za x = 1 i lokalni maksimum za x = 3 Imamo: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x funkcija je definirana u cijelom RR kao x ^ 2 + 3> 0 AA x Možemo identificirati kritične točke pronalaskom gdje je prvi derivat jednak nuli: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 pa su kritične točke: x_1 = 1 i x_2 = 3 Budući da je nazivnik uvijek pozitivan, znak f '(x) je suprotan od znaka numerator (x ^ 2-4x + 3) Sada znamo da je polinom drugog reda s pozitivnim vodećim koeficijentom pozi

Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Lokalni maksimum 80 (na x = -1) i lokalni minimum od -80 (pri x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Kritični brojevi su: -1, 0 i 1 Znak f 'se mijenja iz + u - dok prolazimo x = -1, tako je f (-1) = 80 lokalni maksimum (Budući da je f neparan, možemo odmah zaključiti da je f (1) = - 80 relativni minimum, a f (0) nije lokalni ekstrem.) Znak f 'se ne mijenja kako prolazimo x = 0, tako da f (0) nije lokalni ekstrem: Znak f 'se mijenja iz - u + dok prolazimo x = 1, tako da je f (1) = -80 lokalni minimum.

Koji su lokalni ekstremi od f (x) = xlnx-xe ^ x?

Ova funkcija nema lokalnih ekstrema. f (x) = xlnx-xe ^ x podrazumijeva g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Za x biti lokalni ekstrem, g (x) mora biti nula. Sada ćemo pokazati da se to ne događa ni za jednu stvarnu vrijednost x. Imajte na umu da g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Tako je g ^ '(x) će nestati ako e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Ovo je transcendentalna jednadžba koja se može riješiti numerički. Budući da g ^ '(0) = + oo i g ^' (1) = 1-3e <0, korijen leži između 0 i 1. A budući da je g ^ {'' (0) <0 za sve pozitivne x, ovo