Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Odgovor:

Postoji lokalni minimum od #0# na #1#, (Koji je također globalni.) I lokalni maksimum od # 4 / e ^ 2 # na # E ^ 2 #.

Obrazloženje:

Za #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, imajte na umu da domena # F # je pozitivni realni brojevi, # (0, oo) #.

Onda pronađi

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# F '# je nedefinirano u # X = 0 # koji nije u domeni # F #, pa to nije kritičan broj za # F #.

#F "(x) = 0 # gdje

# LNX = 0 # # # ili # # # 2-LNX = 0 #

# X = 1 # # # ili # # # X = e ^ 2 #

Testirajte intervale #(0,1)#, # (1, e ^ 2) *, i # (E ^ 2, oo) #.

(Za testne brojeve, predlažem # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - Sjetite se # 1 = e ^ 0 # i # E ^ x # povećava se.)

To smo pronašli # F '# mijenja se iz negativnog u pozitivan #1#, Dakle #F (1) = 0 # je lokalni minimum,

i to # F '# mijenja se iz pozitivnog u negativan # E ^ 2 #, Dakle #F (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # je lokalni maksimum.