Koristite a) i b) da biste dokazali da je hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Od onoga što govorite tamo gore, izgleda da trebamo to pokazati #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #, Izgleda kao da je bilo koje mjesto na koje ste dobili ovo pitanje zbunjeno oko definicije # HatT_L #.

Na kraju ćemo to dokazati

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

daje

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

i ne #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, Ako želimo da sve bude dosljedno, onda ako #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, to bi moralo biti to # hatD, hatx = bb (-1) #, Popravila sam to pitanje i već sam to riješila.

Iz dijela 1 pokazali smo da za tu definiciju (to #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Od #f (x_0 - L) # je vlastita država # HatT_L #, neposredna forma koja dolazi na pamet je eksponencijalni operator # E ^ (LhatD) #, Intuitiramo to #hatD = + ihatp_x // ℏ #, i pokazat ćemo da je to istina.

Sjetite se da smo u dokazu prikazanom u 1. dijelu napisali:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

i to je mjesto gdje ćemo ga morati koristiti. Sve što trebamo učiniti je Taylor se proširi eksponencijalnog operatora i pokazati da gore navedeni dokaz još uvijek vrijedi.

Ovo je također ovdje prikazano u svjetlu. Proširio sam ga kako bi bio temeljitiji …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Daj to # L # je konstanta, to možemo faktorizirati iz komutatora. # Hatx # može ući, a ne ovisiti o indeksu. Stoga:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Sada smo to predložili #hatD = ihatp_x // ℏ #, a to bi imalo smisla jer znamo:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = poništi (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

tako da # hatx, hatp_x = i #, To bi značilo da sve dok #hatT_L = e ^ (LhatD) #, konačno možemo dobiti konzistentnu definiciju za oba dijela problema i dobiti:

#color (plava) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = boja (plava) (1) #

Iz toga dalje proširujemo komutator:

# hatx, e ^ (ihatp_xL //) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Sada znamo # hatx, hatp_x #, ali ne nužno # hatx, hatp_x ^ n #, To možete uvjeriti

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

i to

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

tako da:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {poništi (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - poništi (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

To prepoznajemo # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #, Tako,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, pod uvjetom #n> = 1 #.

Iz ovoga nalazimo:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

gdje procjenjujete #n = 0 # pojam, trebali biste vidjeti da ide na nulu, pa smo ga izostavili. Nastavljamo, imamo:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Ovdje jednostavno pokušavamo ponovno učiniti da ovo izgleda kao eksponencijalna funkcija.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(pojmovi grupe)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ^) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(procijenite izvan)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(ako # # N počinje na nuli, # (N-1) #taj pojam postaje # # Nth term.)

Kao rezultat toga, napokon dobivamo:

# => boja (plava) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = boja (plava) (- LhatT_L) #

I opet se vraćamo izvornom komutatoruto

# hatx, hatT_L = -LhatT_L boja (plava) (sqrt "") #

Na kraju, pokažimo to # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n) !)) #

Pišući ovo izričito, možemo vidjeti da radi:

# = boja (plava) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +.,, - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.,, #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +.,, #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +.,, #

# = boja (plava) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

i od # HatD # uvijek putuje sa samim sobom, # hatD ^ n, hatD = 0 # i stoga,

# hatT_L, hatD = 0 # #COLOR (plava) (sqrt "") #