Dokazati da su krivulje x = y ^ 2 i xy = k izrezane pod pravim kutom ako je 8k ^ 2 = 1?

Odgovor:

#-1#

Obrazloženje:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

dvije krivulje su

#x = y ^ 2 #

i

#x = sqrt (1/8) / y ili x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

za krivulju #x = y ^ 2 #, derivat u odnosu na # Y # je # 2y #.

za krivulju #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivat u odnosu na # Y # je # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

točka na kojoj se dvije krivulje susreću je kada # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

od #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

točka na kojoj se krive sastaju je # (1/2, sqrt (1/2)) #

kada #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradijent tangente na krivulju #x = y ^ 2 # je # 2sqrt (1/2) ili 2 / (sqrt2) #.

kada #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradijent tangente na krivulju #xy = sqrt (1/8) # je # -2sqrt (1/8) ili -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Tražimo stanje # K # tako da krivulje # X = y ^ 2 # i # Xy = k # "rez pod pravim kutom". Matematički to znači da bi krivulje trebale biti ortogonalne, što pak znači da na svim točkama tangente na krivulje bilo koji dane točke su okomite.

Ako ispitamo obitelj krivulja za različite vrijednosti # K # dobivamo:

Odmah ćemo primijetiti da tražimo jednu točku gdje su tangente okomite tako da općenito krivulje nisu ortogonalne u svim točkama.

Prvo ćemo pronaći singl Koordinirati, # P #točke raskrižja, što je istodobno rješenje:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Zamjenom jednadžbe A u B dobivamo:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = korijen (3) (k) #

I tako uspostavljamo koordinate križanja:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Trebamo i gradijente tangenata na toj koordinati. Za prvu krivulju:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Dakle, gradijent tangente, # M_1 #, na prvu krivulju na # P # je:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Slično tome, za drugu krivulju:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Dakle, gradijent tangente, # M_2 #, na drugu krivulju na # P # je:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

= -k ^ (- 1/3) #

Ako su ta dva tangenta okomita, onda zahtijevamo da:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Vodeći do danog rezultata:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

I sa ovom vrijednošću # K #