Dokazati sljedeće?

Odgovor:

Provjerite u nastavku.

Obrazloženje:

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

To moramo dokazati

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 #

Razmotrite funkciju #F (x) = x e ^-LNX #, #x> 0 #

Iz grafikona # C_f # možemo to primijetiti #x> 0 #

imamo # E ^ x-LNX> 2 #

Obrazloženje:

#F (x) = x e ^-LNX #, #x##u##1/2,1#

#F "(x) = x ^ e-1 / x #

#F '(1/2) = sqrte-2' 0 #

#F '(1) = E-1> 0 #

Prema Bolzanovoj (Intermediate Value) teoremi imamo #F '(x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

Okomita udaljenost je između # E ^ x # i # LNX # je minimalno kada #F (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

To moramo pokazati #F (x)> 2 #, # As ##>0#

#F (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># istina za #x> 0 #

graf {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (E ^ x-LNX) / x ^ 2> 2 / ^ 2 x #

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-LNX) / x ^ 2-1) dx> 0 #