Kako ste pronašli centar, vrhove, žarišta i ekscentričnost 9x ^ 2 + 4y ^ 2-36x + 8y + 31 = 0?

Odgovor:

Centar: $(2,-1)$

vrhovi: $(2, 1/2) i (2, -5 / 2)$

Suradnici Vrhovi: $(1, -1) i (3, -1)$

žarišta: $(2, (-2 + sqrt (5)) / 2) i (2, (- 2-sqrt (5)) / 2)$

ekscentričnost: $sqrt (5) / 3$

Tehnika koju želimo upotrijebiti zove se dovršavanje kvadrata. Koristit ćemo ga na $x$ prvo, a zatim $Y$ .

Preuređivanje u

$9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31$

Usredotočujući se $x$ , podijelite pomoću $X ^ 2$ koeficijent i dodajte kvadrat polovice koeficijenta $X ^ 1$ izraz za obje strane:

$x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2$

$(x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9$

Podijelite putem $Y ^ 2$ koeficijent i dodati kvadrat polovice koeficijenta $Y ^ 1$ izraz za obje strane:

# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2

$9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4$

Podijeli po $9/4$ pojednostavniti:

$(x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1$

$(x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1$

Opća je jednadžba

$(x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1$

gdje $(A, b)$ je središte i $h, k$ su polu-manje / glavne osi.

Čitanje s centra daje $(2, -1)$ .

U ovom slučaju, $Y$ smjer ima veću vrijednost od $x$ , tako da će elipsa biti rastegnuta u $Y$ smjer. $k ^ 2> h ^ 2$

Vrha se dobivaju pomicanjem po glavnoj osi iz središta. tj $+ - sqrt (k)$ dodan u y koordinatu središta.

To daje $(2, 1/2) i (2, -5/2)$ .

Ko-vrhovi leže na manjoj osi. Mi dodajemo $+ - sqrt (h)$ do koordinate x centra kako biste ih pronašli.

$(1, -1) i (3, -1)$

Sada, pronaći žarišta:

$c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2$

$c ^ 2 = 9/4 - 1$

$c ^ 2 = 5/4 podrazumijeva c = + -sqrt (5) / 2$

Lobi će biti smješteni uzduž linije $x = 2$ na $+ - sqrt (5) / 2$ iz $y = -1$ .

$stoga$ žarišta na $(2, (-2 + sqrt (5)) / 2) i (2, (- 2-sqrt (5)) / 2)$

Na kraju se koristi ekscentričnost

# E = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) *

$e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3$