Neka kažemo da su K i L dva različita podprostorna realna vektorska prostora V. Ako je zadan dim (K) = dim (L) = 4, kako odrediti minimalne dimenzije za V?

Odgovor:

5

Obrazloženje:

Neka četiri vektora # K_1, k_2, k_3 # i # K_4 # čine osnovu vektorskog prostora # K #, Od # K # je podprostor od # V #ova četiri vektora tvore linearno neovisni skup # V #, Od # L # je podprostor od # V # različita od # K #, mora postojati barem jedan element, recimo # L_1 # u # L #, što nije u # K #tj. što nije linearna kombinacija od # K_1, k_2, k_3 # i # K_4 #.

Dakle, set # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # je linearni neovisni skup vektora u # V #, Tako dimenzionalnost # V # je najmanje 5!

Zapravo, moguće je za raspon od # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # biti cijeli vektorski prostor # V # - tako da minimalni broj baznih vektora mora biti 5.

Samo kao primjer # V # biti # RR ^ 5 # i neka # K # i # V # sastoji se od vektora oblika

# ((alfa), (beta), (gama), (delta), (0)) # i # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Lako je vidjeti da su vektori

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#i #((0),(0),(0),(0),(0))#

temelj za # K #, Dodajte vektor #((0),(0),(0),(0),(0))#, i dobit ćete osnovu za cijeli vektorski prostor,