Koji su apsolutni ekstremi f (x) = sin2x + cos2x u [0, pi / 4]?

Odgovor:

Apsolutni maksimum: #x = pi / 8 #

Apsolutni min. je na krajnjim točkama: #x = 0, x = pi / 4 #

Obrazloženje:

Pronađite prvi derivat pomoću pravila lanca:

pustiti #u = 2x; u '= 2 #, Dakle #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Pronađite kritične brojeve postavljanjem #y '= 0 # i faktor:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Kada se #cosu = sinu #? kada #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

tako #x = u / 2 = pi / 8 #

Pronađite drugi derivat: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Provjerite imate li maks # Pi / 8 # koristeći drugi test izvedenica:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, dakle # Pi / 8 # je apsolutni maksimum u intervalu.

Provjerite krajnje točke:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # minimalne vrijednosti

Iz grafikona:

graf {sin (2x) + cos (2x) -1,.78539816, -.5, 1.54}

Odgovor:

# 0 i sqrt2 #, Vidi ilustrativni Sokratov graf.

Obrazloženje:

grafikon(Koristiti # | sin (theta) | u 0, 1 #.

# | F | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) | #

# = Sqrt2 | sin (2 x + pi / 4) | u 0, sqrt 2 #.