Koji su lokalni ekstremi f (x) = sinx na [0,2pi]?

Odgovor:

Na # X = pi / 2 # #F '(x) = - 1 # imamo lokalni maksimum i na # X = 3pi / 2 #, #F '(x) = 1 # imamo lokalni minimum.

Obrazloženje:

Maksime je visoka točka na koju se funkcija povećava, a zatim ponovno pada. Kao takav, nagib tangente ili vrijednost izvedenice u toj točki će biti nula.

Nadalje, budući da će tangente lijevo od maksimuma biti nagnute prema gore, zatim izravnavanje, a zatim padanje prema dolje, nagib tangente će se stalno smanjivati, tj. Vrijednost drugog derivata bi bila negativna.

Minimum na drugoj strani je niska točka na koju funkcija pada, a zatim ponovno raste. Kao takva, tangenta ili vrijednost derivata na minimumu također će biti nula.

No, kako će tangente lijevo od minima biti nagnute prema dolje, a zatim spuštanje i naginjanje prema gore, nagib tangente će se stalno povećavati ili će vrijednost drugog derivata biti pozitivna.

Međutim, ovi maksimumi i minimumi mogu biti univerzalni, tj. Maksimumi ili minimumi za cijeli raspon ili mogu biti lokalizirani, tj. Maksimumi ili minimumi u ograničenom rasponu.

Pogledajmo to s obzirom na funkciju opisanu u pitanju i za to najprije izdvojimo #F (x) = sinx #.

#F "(x) = cosx # i na # 0,2pi # to je #0# na # X = pi / 2 # i # X = (3pi) / 2 #.

#F '(x) = - sinx # i dok ste u # X = pi / 2 # #F '(x) = - 1 # što znači da imamo lokalni maksimum, na # X = 3pi / 2 #, #F '(x) = 1 # što znači da imamo lokalni minimum.

graf {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}