Što zabavna, korisna, matematička činjenica znate da se obično ne uči u školi?

Odgovor:

Kako procijeniti "kule eksponenata", kao što su #2^(2^(2^2))#, i kako razraditi posljednju znamenku # 2 ^ n, # # NinNN #.

Obrazloženje:

Kako bismo procijenili ove "kule", počinjemo od vrha i nastavljamo put prema dolje.

Tako:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Na sličnoj, ali pomalo nepovezanoj bilješci, također znam kako razraditi posljednje znamenke #2# podignut na bilo koji prirodni eksponent. Posljednja znamenka #2# podignuto na nešto uvijek kruži između četiri vrijednosti: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Dakle, ako želite pronaći posljednju znamenku # 2 ^ n #, pronađite koje je to mjesto u ciklusu i znat ćete njegovu zadnju znamenku.

Odgovor:

Ako #n> 0 # i # S # je približna vrijednost #sqrt (n) #, onda:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

gdje #b = n-a ^ 2 #

Obrazloženje:

Pretpostavimo da želimo pronaći kvadratni korijen nekog broja #n> 0 #.

Nadalje, željeli bismo da rezultat bude neka vrsta kontinuirane frakcije koja se ponavlja na svakom koraku.

Probati:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

# boja (bijela) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (bijelo) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Oduzeti # S # s oba kraja:

#sqrt (n) -a-b / (a + sqrt (n)) *

Pomnožite obje strane po #sqrt (n) + a # dobiti:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Pa ako # A ^ 2 # je nešto manje od # # N, onda # B # bit će mali i nastavit će se brže približavati.

Na primjer, ako imamo # N = 28 # i odaberite # A = 5 #, onda dobivamo:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Tako:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

što nam daje približne vrijednosti:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Kalkulator mi govori #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Dakle, to se ne događa vrlo brzo.

Alternativno, možemo staviti # N = 28 # i # A = 127/24 # pronaći:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Tako:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…)))

daje nam približne vrijednosti:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

To je mnogo brže.

Odgovor:

Možete pronaći približne vrijednosti kvadratnih korijena pomoću rekurzivno definirane sekvence.

Obrazloženje:

#COLOR (bijeli) () #

Metoda

Uz pozitivan cijeli broj # # N koji nije savršen trg:

• pustiti #p = kat (sqrt (n)) # biti najveći pozitivni cijeli broj čiji kvadrat ne prelazi # # N.

• pustiti #q = n-p ^ 2 #

• Definirajte slijed cijelih brojeva:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "za" i> = 1):} #

Tada će odnos između uzastopnih termina slijeda težiti # P + sqrt (n) #

#COLOR (bijeli) () #

Primjer

pustiti # N = 7 #.

Zatim #p = kat (sqrt (7)) = 2 #, od #2^2=4 < 7# ali #3^2 = 9 > 7#.

Zatim # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Tako počinje naš slijed:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

U teoriji, odnos između uzastopnih pojmova treba težiti # 2 + sqrt (7) *

Da vidimo:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Zapamtite to # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#COLOR (bijeli) () #

Kako radi

Pretpostavimo da imamo slijed definiran zadanim vrijednostima # a_1, a_2 # i pravilo:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

za neke konstante # P # i # # Q.

Razmotrimo jednadžbu:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Korijeni ove jednadžbe su:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Zatim bilo koji slijed s općim pojmom # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # zadovoljit će pravilo ponavljanja koje smo naveli.

Sljedeće riješite:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

za # S # i # B #.

Pronašli smo:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

i zbog toga:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) *

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) *

Tako s tim vrijednostima # x_1, x_2, A, B # imamo:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Ako #q <3p ^ 2 # zatim #abs (x_2) <1 # i odnos između uzastopnih termina će težiti # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Odgovor:

Modularna podjela

Obrazloženje:

Modularna podjela jednaka je podjeli, osim što je odgovor ostatak umjesto stvarne vrijednosti. Umjesto #-:# simbol, koristite #%# simbol.

Na primjer, obično, ako želite riješiti problem #16-:5# ti bi dobio #3# ostatak #1# ili #3.2#, Međutim, koristeći modularnu podjelu, #16%5=1#.

Odgovor:

Vrednovanje kvadrata sa sumama

Obrazloženje:

Normalno, trebali biste znati kvadrate kao što su #5^2=25#, Međutim, kada brojevi postaju veći kao što su #25^2#, teže je znati s vrha glave.

Shvatio sam da su nakon nekog vremena kvadrati samo zbrojevi neparnih brojeva.

Mislim na ovo:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # gdje # K # je osnovna vrijednost minus #1#

Tako #5^2# može se napisati kao:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

To će vam dati:

#1+3+5+7+9#

To je zapravo #25#.

Budući da se brojevi uvijek povećavaju za #2#, Onda sam mogao dodati prvi i zadnji broj, a zatim pomnožiti s # K / 2 #.

Za #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Tako da mogu učiniti #(49+1)(25/2)# i dobiti #25^2# koji je #625#.

Nije baš praktično, ali zanimljivo je znati.

#COLOR (bijeli) () #

Bonus

Znajući da:

# n ^ 2 = preopterećenje (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n pojmova" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

omogućuje nam rješavanje nekih problema o razlikama kvadrata.

Na primjer, što su sva rješenja u pozitivnim integers #m, n # od # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

To se svodi na pronalaženje suma zarednih neparnih brojeva #40#…

# 40 = preopterećenje (19 + 21) ^ "prosječno 20" #

#color (bijela) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

# boja (bijela) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (bijelo) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = preopterećenje (7 + 9 + 11 + 13) ^ "prosječno 10" #

# boja (bijela) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

# boja (bijela) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (bijelo) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #