Što je -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) jednako?

Odgovor:

Problem nerješiv

Obrazloženje:

Nema lukova koje bi njihov kosinus bio jednak 2 i 3.

S analitičke točke gledišta, # Arccos # funkcija je definirana samo na #-1,1# tako #arccos (2) # & #arccos (3) * ne postoje.

Odgovor:

Stvarno # cos # i #grijeh# ovo nema rješenja, ali kao funkcije kompleksnih brojeva nalazimo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Obrazloženje:

Kao stvarne vrijednosti realnih vrijednosti #x#, funkcije #cos (x) * i #sin (x) * uzimaju samo vrijednosti u rasponu #-1, 1#, Dakle #arccos (2) # i #arccos (3) * su nedefinirani.

Međutim, moguće je proširiti definiciju tih funkcija na kompleksne funkcije #cos (z) # i #sin (z) # kako slijedi:

Počevši s:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

možemo zaključiti:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Stoga možemo definirati:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

za bilo koji kompleksni broj # Z #.

Moguće je pronaći višestruke vrijednosti # Z # koji zadovoljavaju #cos (z) = 2 # ili #cos (z) = 3 #, tako da bi moglo biti određenih izbora za definiranje glavne vrijednosti #arccos (2) # ili #arccos (3) *.

Da biste pronašli prikladne kandidate, riješite # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, itd.

Međutim, imajte na umu da identitet # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # vrijedi za bilo koji kompleksni broj # Z #, tako da možemo zaključiti:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Nadam se da je moguće definirati glavnu vrijednost na takav način #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # rađe nego # -sqrt (3) i #.

U svakom slučaju, #cos (arccos (3)) = 3 # po definiciji.

Stavljajući sve ovo zajedno, nalazimo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #