Pretpostavimo da nemam formulu za g (x), ali znam da g (1) = 3 i g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) za sve x. Kako mogu koristiti linearnu aproksimaciju za procjenu g (0,9) i g (1,1)?

Podnesite me malo, ali to uključuje jednadžbu za skok-presijecanje crte koja se temelji na 1. izvedenici … I željela bih vas voditi na način da čini odgovor, ne samo dati vi odgovor …

U redu, prije nego dođem do odgovora, pustit ću vas u (pomalo) duhovitu raspravu koju je moj kolega iz ureda upravo imao …

Ja: "Ok, waitasec … Vi ne znate g (x), ali znate da je derivat vrijedi za sve (x) … Zašto želite napraviti linearnu interpretaciju na temelju izvedenice? sastavni dio izvedenice, a vi imate izvornu formulu … Je li tako?"

OM: "Čekaj, što?" pročita gore navedeno pitanje "Sveta molitva, nisam to učinio godinama!"

Dakle, to nas dovodi do rasprave između nas o tome kako to integrirati, ali ono što profesor stvarno želi (vjerojatno) ne znači da morate napraviti obrnuti postupak (koji u nekim slučajevima može biti stvarno HARD), ali razumjeti što prvi derivat zapravo jest.

Tako smo se ogrebali po glavama i prolazili kroz naše kolektivne uspomene uzrasta i konačno smo se složili da je drugi derivat lokalni maksimum / minimum, a prvi derivat (onaj o kojem brinete) je nagib krivulje na danoj točki.

Pa, kakve to veze ima s cijenom crva u Meksiku? Pa, ako napravimo pretpostavku da nagib ostaje relativno konstantan za sve "obližnje" točke (da to znamo, morate pogledati krivulju i koristiti dobru prosudbu na temelju onoga što znate o stvarima - ali budući da je to ono što vaš prof želi, to je ono što dobiva!), onda možemo napraviti linearnu interpolaciju - što je upravo ono što ste tražili!

U redu, onda - meso odgovora:

Nagib (m) funkcije kod naše poznate vrijednosti je:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) *

Zbog toga je nagib na poznatoj točki (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) *

m =#sqrt (1 + 15) *

m =#sqrt (16) #

m = 4

Zapamtite, dakle, da je formula za liniju (potrebna za linearnu interpolaciju):

# Y = x + b #

To znači da za točke "blizu" našoj poznatoj vrijednosti, možemo približiti vrijednosti kao da su na liniji s nagibom m, a y-presjekom b. ili:

#G (x) = x + b #

#G (x) = 4x + b #

Dakle, što je onda # B #?

To rješavamo pomoću naše poznate vrijednosti:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Sada znamo formulu za liniju koja približava našu krivulju na poznatoj točki:

g (x#~=#1) = 4x-1

Dakle, ne unosimo točke približavanja da bismo dobili približnu vrijednost, ili:

#G (0.9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#G (0.9) ~ = 3,6-1 #

#G (0.9) ~ = 2,6 #

i

#G (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#G (1.1) ~ = 4,4-1 #

#G (1.1) ~ = 3,4 #

Polako, zar ne?