Koja je granica kada se x približava beskonačnosti od (1 + a / x) ^ (bx)?

Koristeći logaritam i l'Hopitalovo pravilo, #lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Upotrebom zamjene # T = a / x # ili ekvivalentno # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Koristeći logaritamska svojstva,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Prema l'Hopitalovom pravilu, #lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t do 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Stoga, #lim_ {x do infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t do 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Bilješka: #t do 0 # kao #x do pretjerano #)