Što su polu-kutne identitete?

Identiteti polu-ugla su definirani kako slijedi:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# za kvadrante ja i II

#(-)# za kvadrante III i IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# za kvadrante ja i IV

#(-)# za kvadrante II i III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx))) #

#(+)# za kvadrante ja i III

#(-)# za kvadrante II i IV

Možemo ih izvesti iz sljedećih identiteta:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

# boja (plava) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Znajući kako # Sinx # je pozitivan za #0-180^@# i negativno za #180-360^@#, znamo da je pozitivan za kvadrante ja i II i negativno za III i IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

# boja (plava) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Znajući kako # Cosx # je pozitivan za #0-90^@# i #270-360^@#i negativno za #90-270^@#, znamo da je pozitivan za kvadrante ja i IV i negativno za II i III.

#tan (x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x))) / 2)) *

# boja (plava) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Možemo vidjeti da ako uzmemo uvjete za pozitivne i negativne vrijednosti iz # Sinx # i # Cosx # i podijelite ih, shvaćamo da je to pozitivno za kvadrante ja i III i negativno za II i IV.