Koja od sljedećih tvrdnji je istinita / netočna? (i) R² ima beskonačno mnogo ne-nula, pravih vektorskih pod-prostora (ii) Svaki sustav homogenih linearnih jednadžbi ima nulto rješenje.

Odgovor:

# #

# "(i) Istina." #

# "(ii) Netočno."

Obrazloženje:

# #

# "Dokazi." #

# "(i) Možemo izgraditi takav skup podprostora:" #

# "1)" sve r u RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) u RR ^ 2. #

# "Geometrijski," V_r "je linija kroz podrijetlo" RR ^ 2, "od nagiba" t

# "2) Provjerit ćemo da li ove podprostori opravdavaju tvrdnju (i)." #

# "3) Jasno:" qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Provjerite da:" qquad qqad V_r "je odgovarajući podprostor" RR ^ 2 ". #

# "Let:" q u, v u V_r, alfa, beta u RR. qquad qquad qquad quad "Provjeri da:" quad alfa u + v v Vr. #

# u, v u V_r rrr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "za neke" x_1, x_2 u RR #

#: qquad kvad alfa u + v v = a (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

quad = q (q_1, r x_1) + (x_2, r x_2) #

alfa x_1, alfa r x_1) + (beta x_2, r x_2) # (# xx1, qqad, qquad, qquad, qquad, qquad, qquad, qquad, qquad, qqad

alfa x_1 + beta x_2, alfa r x_1 + r x_2) # # qquad qquad qquad qquad

alfa x_1 + beta x_2, r (alfa x_1 + beta x_2)) # # qquad qquad qquad qquad

# qquad quad = (x_3, rx_3) u V_r; xx1 "beta" x_2. #

# "Dakle:" qquad qquadu, v u V_r, alfa, beta u RR quad rArr quad alfa u + v v Vr. #

# "Dakle:" qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "je podprostor" R ^ 2 ". #

# "Da biste vidjeli da" V_r "nije nula, imajte na umu da:" #

# qquad qquad qquad qquad (1, r) u V_r, "i" (1, r) ne (0, 0).

# "Da biste vidjeli da je" V_r "je ispravno", "imajte na umu da" (1, r + 1)!

# (1, r + 1) u V_r rArr "(konstrukcijom" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

rrr r = r + 1, "očigledno nemoguće". #

# "Dakle:" qquad qquad V_r "je ne-nula, odgovarajući podprostor" R ^ 2. qquad (1) #

# "5) Sada pokažite da ima beskonačno mnogo takvih podprostora" V_r. #

# "Let:" qquad r, s u RR. qquad qquad qquad quad "Pokazat ćemo:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Po definiciji:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) u V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) u V_s. #

# "Jasno:" qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) n (1, s). #

# "Tako:" qquad qquad qquad qquad qquad r r s s rArr V_r ne V_s. #

# "Dakle, svaki" r u RR "proizvodi zasebni podprostor" V_r. #

# "Ovo, zajedno s (1) daje:" #

# "Obitelj podprostora:" R u RR je beskonačna obitelj.

# "ne-nula, ispravnih podprostora" RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad

# "(ii) Ovo je zapravo jednostavno. Ako je sustav kvadratan, a" # #

# "matrica koeficijenata sustava u obrnutom, samo će biti" #

# "nulto rješenje." #

# "Pretpostavimo:" qquad qquad quad A "je kvadratna, obrnuta matrica." #

# "Razmotrite homogeni sustav:" #

qqad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qqad qquad qquad qqad qxad aq = 0. #

# "Dakle, kao" A je obrnuto: "#

cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0 qqad qquad qquad qquad qquad #

#: qquad qquad Ix = 0. #

#: qquad qquad x = 0. #

# "Dakle, homogeni sustav" A x = 0, "nema" #

# "rješenje koje nije nula." qquad qquad qquad qquad