Bez grafike, kako odlučiti da li sljedeći sustav linearnih jednadžbi ima jedno rješenje, beskonačno mnogo rješenja ili nema rješenja?

Odgovor:

Sustav od # N # linearne jednadžbe s # N # nepoznate varijable koje ne sadrže linearnu ovisnost između jednadžbi (drugim riječima, njezina determinanta nije nula) imat će jedno i samo jedno rješenje.

Obrazloženje:

Razmotrimo sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznate varijable:

# Ax + S-C #

# Dx + Ey = F #

Ako se par # (A, B) * nije proporcionalan paru # (D, E) * (to jest, ne postoji takav broj # K # da # D = kA # i # E-kB #, koji se može provjeriti prema stanju # A * E-B * D! = 0 #) postoji jedno i samo jedno rješenje:

# X = (C * E-B * F) / (A-B * E * D) #, # Y = (A * C * F-D) / (A-B * E * D) #

Primjer:

# X + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Riješenje:

# X = (3x (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Ako se par # (A, B) * je proporcionalno paru # (D, E) * (što znači da postoji takav broj # K # da # D = kA # i # E-kB #, koji se može provjeriti uvjetom # A * E-B * D = 0 #), postoje dva slučaja:

(a) beskonačan broj rješenja ako # C # i # F # su proporcionalni s istim koeficijentom kao. t # S # i # D #, to je # F = kC #, gdje # K # isti koeficijent proporcionalnosti;

Primjer:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Ovdje # K = 2 # za sve parove: # D = 2A #, # E-2B #, # F-2C.

Druga jednadžba je trivijalna posljedica prve (samo pomnožite prvu jednadžbu s #2#) i stoga ne pruža dodatne informacije o nepoznatim, učinkovito smanjujući broj jednadžbi na 1.

(b) uopće nema rješenja, ako #F! = Kc #

Primjer:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

U ovom slučaju jednadžbe se međusobno proturječe, jer množenjem prve s 2 dobivamo jednadžbu # 2x + 8y = 6 #, s kojim ne mogu imati zajedničko rješenje # 2x + 8y = 5 # budući da su lijevi dijelovi ove dvije jednadžbe jednaki, ali desni dijelovi nisu.