Što je najveći cilindar radijusa, r i visine h koji može stati u sferu radijusa, R?

Odgovor:

Maksimalna zapremina cilindra pronađena je ako se odlučimo

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Ovaj izbor vodi do maksimalnog volumena cilindra od:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Obrazloženje:

``

Zamislite presjek kroz središte cilindra i pustite da cilindar ima visinu # # Hi volumen # V #, onda imamo;

# # H i # R # može se mijenjati i # R # je konstanta. Volumen cilindra je dan standardnom formulom:

# Pir ^ V = 2h #

Polumjer sfere, # R # je hipotenuza trokuta sa stranama # R # i # 1 / 2h #, tako da upotrebom Pitagore imamo:

R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Možemo ovo zamijeniti našim jednadžbom volumena da bismo dobili:

V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Sada imamo volumen, # V # kao funkcija jedne varijable # # Hkoje nastojimo maksimizirati # # H tako razlikovati wrt # # H daje:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Najmanje ili maksimalno, # (DV) / (DH) = 0 # tako:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 4 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 # t

#:. =========================== (očito želimo te + ve korijen)

#:. h = (2R) / sqrt (3) # t

S ovom vrijednošću # # H dobivamo:

r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Trebamo provjeriti da li ova vrijednost dovodi do maksimalnog (a ne maksimalnog) volumena, radimo to tako da pogledamo drugi derivat:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

I kao # h,> 0 # to zaključujemo # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # i da je kritična točka identificirana dovodi do maksimalnog traženog.

Dakle, maksimalni volumen cilindra nalazi se ako se odlučimo

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Ovim izborom dobivamo maksimalni volumen;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

I očigledno je da je volumen Sfere dan:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

To je vrlo poznati problem koji su grčki matematičari proučavali prije otkrića računice. Zanimljivo svojstvo je omjer volumena cilindra i volumena sfere:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Drugim riječima, omjer volumena je potpuno neovisan # R #, # R # ili # # H što je zapanjujući rezultat!