Kako pronaći apsolutne i apsolutne minimalne vrijednosti f na zadanom intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Odgovor:

Reqd. ekstremne vrijednosti su # -25 / 2 i 25/2 #.

Obrazloženje:

Mi koristimo zamjenu # t = 5sinx, t u -1,5 #.

Primijetite da je ova zamjena dopuštena, jer, # t u -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, što drži dobro, kao raspon #grijeh# zabava. je #-1,1#.

Sada, #F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Od, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25 / 2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Stoga, reqd. ekstremiteti su # -25 / 2 i 25/2 #.

Odgovor:

Pronađite monotoniju funkcije iz znaka izvedenice i odlučite koji su lokalni maksimum / minimumi najveći, najmanji.

Apsolutni maksimum je:

#F (3,536) = 12,5 #

Apsolutni minimum je:

#F (1) = - 4.899 #

Obrazloženje:

#F (t) = tsqrt (25-t ^ 2) *

Derivat funkcije:

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2) #

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) *

#F '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) *

#F '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) *

#F '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) *

#F '(t) = 2 (12,5 t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) *

#F '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#F '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) *

• Numerator ima dva rješenja:

  # T_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Dakle, brojnik je:

  Negativno za #t u (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Pozitivno za #t u (-3.536,3.536) #

• Nazivnik je uvijek pozitivan # RR #, budući da je riječ o kvadratnom korijenu.

  Konačno, dani raspon je #-1,5#

Stoga je derivat funkcije:

- Negativno za #t u -1,3,536 #

- Pozitivno za #t in (3.536,5) #

To znači da se grafikon najprije povećava #F (1) # do #F (3.536) # i onda ide dolje #F (5) *, Ovo cini #F (3.536) # apsolutni maksimum i najveća vrijednost #F (1) # i #F (5) * je apsolutni minimum.

Apsolutni maksimum je #F (3.536) #:

#F (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Za apsolutni maksimum:

#F (1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#F (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Stoga, #F (1) = - 4.899 # je apsolutni minimum.

Iz donjeg grafikona možete vidjeti da je to točno. Samo zanemarite područje lijevo od #-1# jer je izvan domene:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}