Neka je f (x) = (x + 2) / (x + 3). Nađite jednadžbu (s) tangentnih linija koje prolaze kroz točku (0,6)? Skicirajte rješenje?

Odgovor:

Tangente su # 25x-9y + 54 = 0 # i # Y = x + 6 #

Obrazloženje:

Neka je nagib tangente # M #, Jednadžba tangenta je tada # Hidroksi-6-mx # ili # Y = x + 6 #

Pogledajmo sada sjecište ove tangente i zadane krivulje # Y = (x + 2) / (x + 3) *, Za ovo stavljanje # Y = x + 6 # u ovo dobivamo

# X + 6 = (x + 2) / (x + 3) * ili # (X + 6) (X + 3) = x + 2 #

tj # X ^ 2 + + 3mx 6x + 18 = x + 2 #

ili # X ^ 2 + (3m + 5) + x 16 = 0 #

To bi trebalo dati dvije vrijednosti #x# tj. dvije točke presijecanja, ali tangenta seče krivulju samo u jednoj točki. Stoga ako # Y = x + 6 # je tangenta, trebamo imati samo jedan korijen za kvadratnu jednadžbu, što je moguće onli ako je diskriminantno #0# tj

# (3m + 5) ^ 2-4 * * 16 m = 0 #

ili # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

ili # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

tj # M = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

tj #25/9# ili #1#

i stoga su tangente # Y = 25 / 9x + 6 # tj # 25x-9y + 54 = 0 #

i # Y = x + 6 #

grafikon {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}