Ovo je trigonometrijski dokaz generaliziranog slučaja, pitanje je u okviru s detaljima?

Odgovor:

Dokaz indukcijom je ispod.

Obrazloženje:

Pokažimo taj identitet indukcijom.

A. Za # N = 1 # moramo to provjeriti

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1

Doista, koristeći identitet #cos (2 theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, to vidimo

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = ((2cos theta) -1) + (2cos (theta) + 1) #

iz čega slijedi

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1

Dakle, za # N = 1 # naš identitet je istinit.

B. Pretpostavimo da je identitet istinit za # # N

Dakle, to pretpostavljamo

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j u 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(simbol # Pi # koristi se za proizvod)

C. Koristeći pretpostavku B iznad, dokazat ćemo identitet # N + 1 #

Moramo dokazati da iz pretpostavke B slijedi

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j u 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(primijetite da je prava granica za indeks množenja # # N sada).

DOKAZ

Korištenje identiteta #cos (2 x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # za # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Podijelite početne i završne izraze pomoću # 2cos (theta) +1 #, uzimajući

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Sada koristimo pretpostavku B

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j u 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j u 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(primijetite da je raspon indeksa sada proširen na # # N).

Posljednja formula je jednaka za # N + 1 # za original # # N, To dovršava dokaz indukcijom da je naša formula istinita za sve # # N.

Odgovor:

Pogledajte odjeljak Dokaz u objašnjenju u nastavku.

Obrazloženje:

To je ekvivalent za dokazivanje toga, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1), (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1), (2cos4x-1), …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1), (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2 x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 x 2 x) 1) (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (1-2cos4x) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) 1)} #

# = (2cos2 ^ NX + 1) #

# = "R.H.S." #

Uživajte u matematici.!