Kako pronaći MacLaurinovu formulu za f (x) = sinhx i koristiti je za približavanje f (1/2) unutar 0.01?

Odgovor:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Obrazloženje:

Znamo definiciju za #sinh (x) *:

#sinh (x) = (e-e ^ x ^ X) / 2 #

Budući da znamo za Maclaurinovu seriju # E ^ x #, možemo ga upotrijebiti za izgradnju jednog za #sinh (x) *.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3) … #

Možemo pronaći seriju za # E ^ -x # zamjenom #x# s #-x#:

# ^ E -X-sum_ (n = 0) ^ oo (X) n ^ / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3) … #

Ove dvije možemo oduzeti jedni od drugih kako bismo pronašli numeratora # Sinh # definicija:

#COLOR (bijeli) (-, e ^ X) e ^ x = boja (bijeli) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#COLOR (bijeli) (e ^ x) -e ^ X = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# ^ E XE ^ -X-boje (bijele) (lllllllll) 2xcolor (bijeli) (lllllllll) + (2 x ^ 3) / (3!) Boja (bijeli) (lllllll) + (2 x 5 ^) / (5!) … #

Možemo vidjeti da su svi jednaki uvjeti otkazani, a svi neparni uvjeti dvostruki. Ovakav uzorak možemo prikazati na sljedeći način:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Za dovršetak #sinh (x) * serija, trebamo to podijeliti na #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo poništi2 / (poništi2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Sada želimo izračunati #f (1 s točnošću od najmanje #0.01#, Poznat nam je ovaj opći oblik Lagrangeove greške koja je vezana za n-ti stupanj taylor polinoma # x = C #:

# | R_n (x) | <| M / (! (N + 1)), (x-c) ^ (n + 1) | # gdje # M # je gornja granica n - tog derivata u intervalu od. t # C # do #x#.

U našem slučaju, ekspanzija je Maclaurinova serija # c = 0 # i # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Derivati višeg reda #sinh (x) * ili će biti #sinh (x) * ili #cosh (x) *, Ako razmotrimo definicije za njih, to vidimo #cosh (x) * uvijek će biti veći od #sinh (x) *, pa trebamo riješiti problem # M #- vezano za #cosh (x) *

Hiperbolička kosinusna funkcija se uvijek povećava, tako da će najveća vrijednost na intervalu biti na #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Sada ćemo to uključiti u Lagrangeovu grešku:

# | R_n (x) | <(sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) i (1/2) ^ (n + 1) #

Mi želimo # | R_n (x) | # biti manji od #0.01#, pa smo pokušali neke # # N vrijednosti sve dok ne dođemo do te točke (što je manja količina pojmova u polinomu, to bolje). To smo pronašli # N = 3 # je prva vrijednost koja će nam dati ograničenje pogreške manje od #0.01#, tako da moramo koristiti taylor polinom 3. stupnja.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336.169 / 645,12 hiljade ~~ 0.52 #