Odgovor:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # za #b u RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # za #b = | b | e ^ (itheta) u CC #
Obrazloženje:
Prema temeljnom teoremu algebre, možemo izraziti svoj izraz kao
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
gdje je svaki # Alpha_k # je korijen # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Rješavanje za # Alpha_k #, dobivamo
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (pod pretpostavkom #b u RR #)
# = | B | (e ^ (i (PI + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k u ZZ #
Kao #k u {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # račune svih jedinstvenih vrijednosti tog oblika, dobivamo našu faktorizaciju kao, za #b u RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Za općenitije #b u CC #, a zatim pretpostavimo #b = | b | e ^ (itheta) #možemo pronaći slične izračune
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
značenje
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Oprostite, previdio sam neke manje detalje, a odgovor sentea je točan.
s pretpostavkom da #b ne 0 # i # a, b u RR # imamo
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # zatim
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # zatim
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # su # K = 0,1, cdots, 7 # korijeni ili čimbenici.
Definirati
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
i onda
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
tako
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # s realnim koeficijentima.
