Koja je najbrža i najlakša metoda za rješavanje kubičnih i kvartičnih jednadžbi (bez polinomskog kalkulatora)?

Odgovor:

Ovisi…

Obrazloženje:

Ako kubni ili kvartni (ili bilo koji stupanj polinoma za tu materiju) ima racionalne korijene, tada teorem racionalnih korijena može biti najbrži način da ih pronađemo.

Descartesovo pravilo znakova također može pomoći u utvrđivanju ima li polinomska jednadžba pozitivne ili negativne korijene, tako da suzite pretraživanje.

Za kubičnu jednadžbu može biti korisno ocijeniti diskriminantnu:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Ako #Delta = 0 # tada kubik ima ponovljeni korijen.

• Ako #Delta <0 # tada kubik ima jedan pravi korijen i dva ne-stvarna kompleksna korijena.

• Ako #Delta> 0 # onda kubik ima tri stvarna korijena.

Ako #Delta = 0 # onda kubični dijeli faktor sa svojim derivatom, tako da biste trebali moći pronaći njihov zajednički faktor izračunavajući polinom GCF.

Inače, vjerojatno je korisno upotrijebiti Tschirnhaus transformaciju za izvođenje a depresivan kubni bez kvadratnog termina prije nastavka.

Ako kubik ima jedan pravi korijen i dva ne-stvarna, onda bih preporučio Cardanov metodu.

Ako ima tri stvarna korijena, umjesto toga bih preporučio upotrebu trigonometrijske supstitucije.

Za kvartiku možete dobiti depresivnu kvartiku bez kubičnog izraza pomoću zamjene #t = x + b / (4a) #.

Ako rezultirajuća kvartika također nema linearni izraz, onda je kvadratna # X ^ 2 #, To možete riješiti kao kvadratno i uzeti kvadratne korijene ili upotrijebiti faktorizaciju obrasca:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Iz ovoga možete pronaći kvadratne čimbenike za rješavanje.

Ako rezultirajući kvartik ima linearni izraz, onda se može faktorizirati u obliku:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Izjednačavanje koeficijenata i korištenje # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, možete izvesti kubni # A ^ 2 #, Stoga možete pronaći moguće vrijednosti za # S #, # B # i # C #, Zatim pronađite nule kvadratnih faktora.

Postoje i drugi posebni slučajevi, ali to grubo pokriva.