Kako integrirati int x + cosx od [pi / 3, pi / 2]?

Odgovor:

Odgovor #int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 0,8193637907356557 #

Obrazloženje:

prikazati ispod

#int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 1 / 2x ^ 2 + sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) #

# Pi ^ 2/8 + sin (pi / 2) - pi ^ 2/18 + sin (pi / 3) = (5 * pi ^ 2-4 * 3 ^ (5/2) +72) /72=0.8193637907356557#

Odgovor:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Obrazloženje:

Korištenjem linearnosti integrala:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx + int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx #

Sada:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx = x ^ 2/2 _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = pi ^ 2/8-pi ^ 2/18 = (5pi ^ 2) / 72 #

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx = sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = sin (pi / 2) -sin (pi / 3) = 1-sqrt3 / 2 #

Zatim:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Odgovor:

# (5π ^ 2) / 72 + 1 sqrt3 / 2 #

Obrazloženje:

#int_ (π / 3) ^ (π / 2), (x + cosx) dx # #=#

#int_ (π / 3) ^ (π / 2) + xdx int_ (π / 3) ^ (π / 2) cosxdx # #=#

# X ^ 2/2 _ (π / 3) ^ (π / 2) * #+# # Sinx _ (pi / 3) ^ (π / 2) * #=#

# (Π ^ 2/4) / 2- (2 π ^ / 9) / 2 + sin (π / 2) -sin (π / 3) * #=#

# ^ 2 π / 8-π ^ 2/18 + 1 sqrt3 / 2 # #=#

# (5π ^ 2) / 72 + 1 sqrt3 / 2 #

Kako dokazati (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Pogledajte dolje. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

Kako integrirati int e ^ x sinx cosx dx?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Prvo možemo koristiti identitet: 2sinthetacostheta = sin2x koji daje: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Sada možemo koristiti integraciju po dijelovima. Formula je: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I neka f (x) = sin ( 2x) i g '(x) = e ^ x / 2. Primjenjujući formulu, dobivamo: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Sada možemo integrirati dijelove još jednom , ovo vrijeme s f (x) = cos (2x) i g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos ( 2x) e ^ x-int -in

Dokazati: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Dokaz ispod pomoću konjugata i trigonometrijske verzije Pitagorine teoreme. Dio 1 sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) boja (bijela) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) boja (bijela) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) boja (bijela) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Part 2 Slično sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) boja (bijela) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Dio 3: Kombiniranje pojmova sqrt ( (1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) boja (bijela) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x)