Kako integrirati int e ^ x sinx cosx dx?

Odgovor:

dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Obrazloženje:

Najprije možemo upotrijebiti identitet:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

koji daje:

ex xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Sada možemo koristiti integraciju po dijelovima. Formula je:

# f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustit ću #F (x) = sin (2 x) # i #G "(x) = x ^ e / 2 #, Primjenjujući formulu, dobivamo:

ex x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Sada možemo još jednom integrirati dijelove, ovaj put s #F (x) = cos (2x) # i #G "(x) = x ^ e #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int - sin (2x) e ^ x dx) #

Exxin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Sada imamo integral na obje strane jednakosti, tako da ga možemo riješiti kao jednadžbu. Prvo, dodamo 2 puta integral na obje strane:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Budući da smo željeli pola kao koeficijent na izvornom integralu, obje strane dijelimo s #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E x ^ / 10sin (2x) -E ^ x / 5cos (2x) + C #

Odgovor:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Obrazloženje:

Tražimo:

# I = int e ^ x sinxcosx t

Koji koriste identitet:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Možemo pisati kao:

# I = 1/2 u e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2

Gdje radi, označavamo:

# I_S = int e ^ x sin2x, i # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Sada još jednom izvršavamo integraciju po dijelovima.

pustiti # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Zatim priključujemo IBP formulu:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 e e ^ x sin2x

#:. E_x sin2x - 1/2 I_S # ….. B

Sada imamo dvije simultane jednadžbe u dvije nepoznanice #JE#, i # I_C #, tako da zamijenimo B u A imamo:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

E ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Dovodi do:

I_S + C #

# 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #