Odgovor:
Pogledajte objašnjenje …
Obrazloženje:
pustiti #t = a_ (cf) (x; b) #
Zatim:
#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Drugim riječima, # T # je fiksna točka mapiranja:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Obratite pažnju na to, # T # kao fiksna točka #F (t) # to nije dovoljno da se to dokaže #t = a_ (cf) (x; b) #, Mogu postojati nestabilne i stabilne fiksne točke.
Na primjer, #2016^(1/2016)# je fiksna točka #x -> x ^ x #, ali nije rješenje # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Nema rješenja).
No, razmotrimo #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # i #t = 1.880789470 #
Zatim:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #
# = E ^,6316916199 #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Dakle, ova vrijednost # T # je vrlo blizu fiksnoj točki #F_ (a, b, x) *
Da bi dokazali da je stabilan, razmislite o izvedenici blizu # T #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #
Tako nalazimo:
#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ 0.05316916199 #
Budući da je to negativno i od apsolutne vrijednosti manje od #1#, fiksna točka na # T # je stabilan.
Također imajte na umu da za bilo koju stvarnu vrijednost koja nije nula # S # imamo:
#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
To je #F_ (e, 1,0.1) (s) * strogo se monotono smanjuje.
Stoga # T # je jedinstvena stabilna fiksna točka.
Odgovor:
Ugovorno ponašanje.
Obrazloženje:
S #a = e # i #x = x_0 # iteracija slijedi kao
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # I također
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Istražimo uvjete kontrakcije operatora iteracije.
Sažetak obje strane
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #
ali u prvoj aproksimaciji
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #
ili
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} cca-b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #
Imati potrebu za kontrakcijom
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
To se postiže ako
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #, s pretpostavkom da #b> 0 # i #k = 1 # imamo.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Tako dano # X_0 # i # B # ovaj odnos nam omogućuje da pronađemo početnu iteraciju u kontraktivnom ponašanju.
