Imamo:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Korak 2 - Odredite kritične točke
Pojavljuje se kritična točka kod istovremenog rješavanja
# f_x = f_y = 0 iff (djelomicno f) / (djelomicno x) = (djelomicno f) / (djelomicno y) = 0 #
tj. kada:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)), = 0, … B):}} # istovremeno
Od kojih možemo utvrditi:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Stoga zahtijevamo da:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Tada imamo dva (beskonačna ravnina) rješenja:
#:. x = + - y #
I tako zaključujemo da postoji beskonačno mnogo kritičnih točaka duž cijele dužine presjeka krive i dviju ravnina
Korak 3 - Razvrstajte kritične točke
Da bismo klasificirali kritične točke, izvodimo test sličan onom jednog varijabilnog računa koristeći druge djelomične derivate i Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((djelomično ^ 2 f) / (djelomično x ^ 2), (djelomično ^ 2 f) / (djelomični x djelomični y)), ((djelomično ^ 2 f) / (djelomični y djelomični x), (djelomično ^ 2 f)) / (djelomično y ^ 2)) | #
# f (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Onda ovisno o vrijednosti
# {: (Delta> 0, "Postoji maksimum ako" f_ (xx) <0), (, "i minimum ako" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "postoji sedlo")), (Delta = 0, "Potrebna je daljnja analiza"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Moramo razmotriti znak
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Dakle, ovisno o znaku
Ovdje je nacrt funkcije
I ovdje je zaplet funkcije uključujući i zrakoplove
