Dokazati da je ljubičasto zasjenjeno područje jednako području inkirle jednakostraničnog trokuta (žuti prugasti krug)?

Odgovor:

Obrazloženje:

Područje unesenog kruga je # Pir ^ 2 #.

Zabilježeći pravi trokut s hipotenuza # R # i nogu # R # na dnu jednakostraničnog trokuta, kroz trigonometriju ili svojstva #30 -60 -90 # pravim trokutima možemo uspostaviti odnos koji # R = 2r #.

Imajte na umu da je kut suprotan # R # je #30 # od jednakostraničnog trokuta #60 # kut je bio prepolovljen.

Taj isti trokut može se riješiti Pitagorinim teoremom kako bi se pokazalo da je polovica duljine bočne strane jednakostraničnog trokuta #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4R ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Sada ispitujući polovicu jednakostraničnog trokuta kao pravokutni trokut, vidimo da je visina # # H jednakostraničnog trokuta može se riješiti u smislu # R # koristeći odnos #tan (60) = H (/ rsqrt3) #, Od #tan (60) = sqrt3 #, to postaje # H / (rsqrt3) = sqrt3 # tako # H = 3r #.

Tada je područje jednakostraničnog trokuta # 1 / 2bh #, a njegova baza je # 2rsqrt3 # i njegova visina # 3r #, Dakle, njegovo područje je # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3R ^ 2sqrt3 #.

Površina manjeg osjenčanog područja jednaka je jednoj trećini površine jednakostraničnog trokuta minus kružnica, ili # 1/3 (3R ^ 2sqrt3-pir ^ 2) * što je jednako # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) *.

Područje većeg kruga je # Pir ^ 2-pi (2r) ^ 2-4pir ^ 2 #.

Područje veće osjenčane regije je jedna trećina područja većeg kruga minus područje jednakostraničnog trokuta, ili # 1/3 (4pir ^ ^ 2-3r 2sqrt3) # što pojednostavljuje biti # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) *.

Ukupna površina zasjenjenog područja je tada # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((+ 3sqrt3-3sqrt3-pi 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, što je ekvivalentno području inkirkle.

Odgovor:

Obrazloženje:

Za jednakostraničan trokut središte gravitacije, središte kružnice i ortocentar se podudaraju.

Dakle, radijus cicumcircle (R) i radijus incircle (r) imat će sljedeći odnos

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Sada je iz slike očito da područje BIG purpurne zasjenjene regije#-1/3 (pir ^ 2-delta) #

I podrucje malog purpurnog zasjenjenog podrucja#-1/3 (Delta-pir ^ 2) *

gdje #Delta # predstavlja područje jednakostraničnog trokuta.

Tako

#color (ljubičasta) ("TOTAL površina BIG i SMALL purple shaded region" #)

#-1/3 (pir ^ 2-delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) *

#-1/3 (pir ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) *

Umetanje R = 2r

#-1/3 (PI (2r) ^ 2-pir ^ 2) *

#-1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) *

# = 1/2 ^ cancel3xxcancel3pir #

# = pir ^ 2-> boja (narančasta) "Površina kruga žutih prugica" #