Što je Infinity? + Primjer

Odgovor:

Na to se ne može odgovoriti bez konteksta. Ovdje su neke od koristi u matematici.

Obrazloženje:

Skup ima beskonačnu kardinalnost ako se može preslikati jedan-na-jedan na vlastitu podskupinu sebe. To nije upotreba beskonačnosti u računu.

U računu koristimo "beskonačnost" na 3 načina.

Intervalni zapis:

Simboli # Oo # (odnosno # -Oo #) označavaju da interval nema desnu (odnosno lijevu) krajnju točku.

Interval # (2, oo) # ista je kao i skup #x#

Beskonačne granice

Ako granica ne postoji, jer kao #x# pristupi # S #, vrijednosti od #F (x) * povećati se bez granica, onda pišemo #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Imajte na umu da je izraz "bez granica" značajan. Broj korisnika:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # rastu, ali su ograničene gore. (Nikad ne dolaze ili prolaze #1#.)

Granice u beskonačnosti

Izraz "granica u beskonačnosti" koristi se da označi da smo pitali što se događa #F (x) * kao #x# povećava se bez ograničenja.

Primjeri uključuju

Ograničenje kao #x# povećava se bez ograničenja # X ^ 2 # ne postoji jer, kao #x# povećava se bez ograničenja, # X ^ 2 # također se povećava bez ograničenja.

Ovo je napisano #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # i često je čitamo

"Granica kao. T #x# ide u beskonačnost, od # X ^ 2 # je beskonačnost"

Ograničenje #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # označava da, kao #x# povećava se bez ograničenja, # 1 / x # pristupi #0#.

Odgovor:

To ovisi o kontekstu …

Obrazloženje:

#bb + - # Beskonačnost i granice

Razmotrite skup Realnih brojeva # RR #, često prikazan kao crta s negativnim brojevima na lijevoj i pozitivnim brojevima na desnoj strani. Možemo dodati dvije pozive # + Oo # i # -Oo # koji ne funkcioniraju kao brojevi, ali imaju sljedeće svojstvo:

#AA x u RR, -oo <x <+ oo #

Onda možemo pisati #lim_ (x -> + oo) # znači granicu od #x# dobiva sve više i više pozitivno bez gornje granice i #lim_ (x -> - oo) # znači granicu od #x# postaje sve više i više negativan bez donje granice.

Također možemo pisati izraze kao što su:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… što znači vrijednost # 1 / x # povećava se ili smanjuje bez ograničenja #x# pristupi #0# od 'desno' ili 'lijevo'.

Dakle, u ovim kontekstima # + - oo # su stvarno skraćeno izraziti uvjete ili rezultate ograničavajućih procesa.

Beskonačnost kao završetak # RR # ili # CC #

Projektivna crta # RR_oo # i Riemannova sfera # CC_oo # formiraju se dodavanjem jedne pozvane točke # Oo # do # RR # ili # CC # - "točka u beskonačnosti".

Tada možemo proširiti definiciju funkcija poput #f (z) = (az + b) / (cz + d) # biti kontinuirani i dobro definirani u cjelini # RR_oo # ili # CC_oo #, Ove Möbiusove transformacije osobito dobro funkcioniraju #Gugutati#, gdje mapiraju krugove u krugove.

Beskonačnost u teoriji skupova

Veličina (kardinalnost) skupa brojeva je beskonačna, poznata kao brojljiva beskonačnost. Georg Cantor je utvrdio da je broj stvarnih brojeva strogo veći od ove brojljive beskonačnosti. U teoriji skupova postoji čitavo mnoštvo beskonačnosti rastućih veličina.

Beskonačnost kao broj

Možemo li zapravo tretirati infinitete kao brojeve? Da, ali stvari ne funkcioniraju onako kako očekujete cijelo vrijeme. Na primjer, mogli bismo sretno reći # 1 / oo = 0 # i # 1/0 = oo #, ali što je vrijednost # 0 * oo?

Postoje brojni sustavi koji uključuju beskonačnosti i beskonačnosti (beskonačno mali brojevi). One pružaju intuitivnu sliku rezultata graničnih procesa kao što je diferencijacija i mogu se tretirati rigorozno, ali postoji nekoliko zamki koje treba izbjeći.