Pretpostavimo da je z = x + yi, gdje su x i y realni brojevi. Ako je (iz-1) / (z-i) pravi broj, pokažite da kada (x, y) ne bude jednako (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Odgovor:

Pogledajte dolje,

Kao # Z = x + Iy #

# (Iz-1) / (z-i) = (i (x + Iy) -1) / (x + Iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (x + i (y-1)) *

= # (Ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)), xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) *

= # ((Ix- (y + 1)), (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) *

= # (Ix ^ 2 x + (y-1) -X (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) *

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + i (x + y ^ 2 ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) *

= # (- 2x + i (x + y ^ 2 ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) *

Kao # (Iz-1) / (z-i) # je stvarna

# (X + y ^ 2 ^ 2-1) = 0 # i # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Sada kao # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # je zbroj dvaju kvadrata, može biti nula samo kada # X = 0 # i # Y = 1 # tj

ako # (X, y) # nije #(0,1)#, # 2 x + y ^ ^ 2-1 #