Koja je granica kada se x približava beskonačnosti od (ln (x)) ^ (1 / x)?

To je vrlo jednostavno. Morate iskoristiti činjenicu da

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Onda, znate to

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

A onda se događa zanimljiv dio koji se može riješiti na dva načina - koristeći intuiciju i matematiku.

Počnimo od dijela intuicije.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("nešto manje od x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Razmislimo zašto je to tako?

Zahvaljujući kontinuitetu # E ^ x # funkcija koju možemo premjestiti:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Za procjenu ovog ograničenja #lim_ (n> infty) (ln (ln (x)) / x) *, možemo koristiti pravilo de l'Hospital koje glasi:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Stoga, kada bismo brojili derivate, dobili bismo:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Kao što su derivati # 1 / (xln (x)) * za nominatora i #1# za nazivnik.

To je ograničenje lako izračunati kao što je # 1 / infty # vrsta granice koja je nula.

Dakle, to vidite

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

I to znači #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # također.