Pitanje # bfe81

Odgovor:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) i / x ^ 2-sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1 x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

Obrazloženje:

Znamo za sljedeće Maclaurinove serije #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ n ^ x-2/2 + x ^ 3/3 … #

Možemo pronaći niz za #ln (x ^ 2 + 1) # zamjenom svih #x#s # X ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Sada možemo samo dijeliti # X ^ 2 # pronaći seriju koju tražimo:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) i / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

# = Sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2-sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = X ^ (2-2) -X ^ (2 x 22) / 2 + x ^ (3 x 22) / 3 x ^ (4 x 2-2) / 4 = … #

# = 1 x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

što je serija koju smo tražili.